Koordinatengeometrie im Raum - Vektorprodukt LEISTUNGSKURS (optional), Matheübungen

Vektorprodukt, Dreiecksflächen, Spatvolumen, Pyramidenvolumen - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe
  • Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
    So kannst du auch andere Flächeninhalte berechnen:
    • Das von zwei Vektoren aufgespannte Dreieck besitzt einen Flächeninhalt, der der Hälfte der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
    • Die Flächeninhalte anderer n-Ecke lassen sich durch vorherige Zerlegung des n-Ecks in Dreiecke berechnen.


    Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen VSpat zu berechnen, gehe wie folgt vor:
    1. Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
    2. Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
    3. Der Betrag davon ist das Spatvolumen.

    Mit dieser Vorgehensweise kannst du den Rauminhalt weiterer geometrischer Körper bestimmen:
    • Vierseitiges Prisma = Spat (V4-stg.Prisma = VSpat)
    • Dreiseitiges Prisma = halber Spat (V3-stg.Prisma = ½ VSpat)
    • Vierseitige Pyramide (V4-stg.Pyr = 1/3 VSpat)
    • Dreiseitige Pyramide (V3-stg.Pyr = 1/6 VSpat)

Beschreibe in mehreren Teilschritten, wie man ...

  • … den Flächeninhalt eines Dreiecks ABC ermittelt.
    Zur Lösung dieser Aufgabe …
    Als nächstes berechnet man den Vektor, der sich aus …
    Der gesuchte Flächeninhalt ergibt sich, indem man für diesen Vektor …
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Skalarprodukt und Vektorprodukt
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Skalarprodukt und Vektorprodukt

Kanal: Mathegym
Wie berechnet man die Koordinaten des Produktvektors beim Vektorprodukt zweier Vektoren?
#619
Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Hat der erste Faktor die Koordinaten a1, a2 und a3 und der zweite die Koordinaten b1, b2 und b3, so ergeben sich die Koordinaten des Kreuzprodukts nach folgender Rechenvorschrift:

a2b3 − a3b2

a3b1 − a1b3

a1b2 − a2b1

Beispiel
−
1
−
4
5
 
×
 
7
2
−
3
=
?
Welche Eigenschaft hat das Vektorprodukt zweier Vektoren bezüglich des aufgespannten Parallelogramms?
#620
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
Beispiel
Gegeben ist das Dreieck QRS mit den Punkten Q(2|3|-4), R(6|-1|-2) und S(9|-1|2). Bestimme seinen Flächeninhalt.
Wie ist die Lage des Vektorprodukts zweier Vektoren relativ zu diesen?
#621
Das Vektorprodukt zweier Vektoren steht zu diesen beiden senkrecht.
Beispiel
Gegeben sind die Vektoren
 
a
=
1
−
2
3
 
und
 
b
=
−
3
−
1
2
 
.
Bestimme jeweils einen Vektor
 
v
 
, der zu diesen beiden senkrecht steht und
(a) die Länge 3 besitzt.
(b) dessen dritte Koordinate den Wert 1 besitzt.
Wie berechnet man die Fläche eines n-Ecks und das Volumen von drei- oder vierseitigen Prismen und Pyramiden, wenn die Eckpunkte bekannt sind?
#796
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
So kannst du auch andere Flächeninhalte berechnen:
  • Das von zwei Vektoren aufgespannte Dreieck besitzt einen Flächeninhalt, der der Hälfte der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
  • Die Flächeninhalte anderer n-Ecke lassen sich durch vorherige Zerlegung des n-Ecks in Dreiecke berechnen.


Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen VSpat zu berechnen, gehe wie folgt vor:
  1. Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
  2. Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
  3. Der Betrag davon ist das Spatvolumen.

Mit dieser Vorgehensweise kannst du den Rauminhalt weiterer geometrischer Körper bestimmen:
  • Vierseitiges Prisma = Spat (V4-stg.Prisma = VSpat)
  • Dreiseitiges Prisma = halber Spat (V3-stg.Prisma = ½ VSpat)
  • Vierseitige Pyramide (V4-stg.Pyr = 1/3 VSpat)
  • Dreiseitige Pyramide (V3-stg.Pyr = 1/6 VSpat)
Was ist ein Spat und wie wird sein Volumen berechnet?
#622
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen zu berechnen, gehe wie folgt vor:
  1. Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
  2. Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
  3. Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
Beispiel
Berechne das Volumen des von den Vektoren 
a
, 
b
 und 
c
 aufgespannten Prismas mit 
a
=
1
2
−
1
, 
b
=
2
−
3
5
 und 
c
=
2
0
3
.
graphik
Wie berechnet man das Volumen einer Pyramide, die von drei Vektoren aufgespannt wird?
#850
Eine Pyramide, die von drei Vektoren aufgespannt wir, passt genau sechs mal in den Spat, der von denselben drei Vektoren aufgespannt wird. Mit anderen Worten: Berechne das Spatvolumen und teile das Ergebnis durch sechs, um das Pyramidenvolumen zu erhalten.