Koordinatengeometrie - Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit - Matheaufgaben und Online-Übungen

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Stelle ein geeignetes Gleichungssystem in Matrixform auf
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Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung
\[ a_1 \vec{v}_1 + a_2 \vec{v}_2 + \dots + a_n \vec{v}_n = \vec{0} \]
ist nur möglich mit \( a_1=a_2=\dots=a_n=0\).
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Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 1

Überprüfe auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit.
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\[\vec{v_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad\vec{v_2}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \vec{v_3} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] Die Vektoren sind:
linear abhängig, weil bereits zwei der Vekoren parallel sind.
linear unabhängig.
nicht parallel aber komplanar, also linear abhängig.
Das kann man nicht entscheiden.

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Stoff zum Thema

Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

\[ a_1 \vec{v}_1 + a_2 \vec{v}_2 + \dots + a_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

ist nur möglich mit \( a_1=a_2=\dots=a_n=0\).

Beispiel

Gegeben sind die drei Vektoren: \[\vec{v_1}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \quad\vec{v_2}= \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \vec{v_3} = \begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 9 \end{pmatrix} \]

Für Vektoren ungleich dem Nullvektor lässt sich lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit immer anschaulich interpretieren:

Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zueinander sind.
Drei Vektoren im ℝ³ sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zu einer Ebene sind. Letzteres ist erfüllt, wenn mindestens zwei der Vektoren parallel zueinander sind.

Wann sind n Vektoren im ℝ³ linear abhängig?

#1309

Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

\[ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

ist nur möglich mit \( \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\).