Koordinatengeometrie - Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Matheaufgaben

Lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit von Vektoren im Zwei- und Dreidimensionalen durch anschauliche Vorstellung und durch Rechnung (Gleichungssystem) bestimmen.

Hilfe
  • Für Vektoren ungleich dem Nullvektor lässt sich lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit immer anschaulich interpretieren:
    • Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zueinander sind.
    • Drei Vektoren im ℝ³ sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zu einer Ebene sind. Letzteres ist erfüllt, wenn mindestens zwei der Vektoren parallel zueinander sind.

Bestimme mit möglichst wenig Aufwand.

  • Die Vektoren 
    −
    2
    0
    6
     und 
    3
    0
    −
    9
     sind linear 
    abhängig
      
    unabhängig.
    Die Vektoren 
    1
    1
    0
    ,
     
    1
    2
    0
     und 
    −
    1
    1
    0
     sind linear 
    abhängig
      
    unabhängig.
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Wann sind n Vektoren im ℝ³ linear abhängig?
#1309

Eine Menge von \( n \) Vektoren \(\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^3\) ist linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen dargestellt werden kann. Anderfalls nennt man sie linear unabhängig.

Folgerung: Lineare Unabhängigkeit liegt genau dann vor, wenn sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination dieser n Vektoren darstellen lässt, d.h. die Darstellung

\[ \lambda_1 \vec{v}_1 + \lambda_2 \vec{v}_2 + \dots + \lambda_n \vec{v}_n = \vec{0} \]

ist nur möglich mit \( \lambda_1=\lambda_2=\dots=\lambda_n=0\).

Beispiel
Überprüfe folgende drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit:
2
−
2
7
    
1
−
5
4
    
1
2
−
1
Für Vektoren ungleich dem Nullvektor lässt sich lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit immer anschaulich interpretieren:
  • Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zueinander sind.
  • Drei Vektoren im ℝ³ sind genau dann linear abhängig, wenn sie parallel zu einer Ebene sind. Letzteres ist erfüllt, wenn mindestens zwei der Vektoren parallel zueinander sind.

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