Koordinatengeometrie im Raum - Ebenen - Normalen- und Koordinatenform, Matheübungen

Ebene durch drei Punkte, Punkt auf Ebene, besondere Lage zum Koordinatensystem - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 21 Aufgaben in 5 Levels

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  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 19
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Stelle zunächst die Vektorgleichung auf.
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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Die allgemeine Normalengleichung der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor und einem Aufpunkt P.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 1
  • Von einer Ebene E sind ein Normalenvektor und ein Ebenenpunkt gegeben. Gib eine Normalengleichung der Ebene in Vektor- und in Koordinatenform an.
    • Normalenvektor
     
    n
    =
    2
    2
    1
     
    und P( 3 | -2 | 1)
    Normalengleichung der Ebene:
    ·
    x
    −
    =
    0
    Koordinatengleichung der Ebene:
    x
    1
    +
    x
    2
    +
    x
    3
    −
    =
    0
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Stoff zum Thema
Welche Komponenten sind für die Normalengleichung einer Ebene notwendig?
#687
Die allgemeine Normalengleichung der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor und einem Aufpunkt P.
Beispiel
Die Ebene E besitzt den Normalenvektor
 
n
=
−
1
−
1
4
 
und enthält den Punkt P(0|2|0).
Wie überprüft man, ob ein Punkt P in einer Ebene E in Koordinatenform liegt?
#608
Um zu überprüfen, ob der Punkt P(p1 | p2 | p3) in der Ebene E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 enthalten ist, setze P in E ein, d.h. überprüfe die Aussage n1 p1 + n2 p2 + n3 p3 + n0 = 0 auf Richtigkeit.
Wie erkennt man, ob eine Ebene E in Koordinatenform durch den Ursprung geht oder zu einer Achse bzw. Ebene parallel ist?
#609
E: n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n0 = 0 ist
  • Ursprungsebene (d.h. enthält den Ursprung des Koordinatensystems) genau dann, wenn n0 = 0.z.B. 3x1 + 2x2 − x3 = 0 [keine Konstante am Ende].
  • parallel zur x1-Achse genau dann, wenn n1 = 0.z.B. 2x2 − x3 + 5 = 0 [x1 kommt nicht vor].
  • parallel zur x1 x2-Ebene genau dann, wenn n1 = n2 = 0.z.B. 2x3 + 3 = 0 [x1 und x2 kommen nicht vor].
Für die anderen Koordinatenachsen und -ebenen analog.
Wie leitet man die Normalenform einer Ebene aus drei gegebenen Punkten ab?
#610
Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man einen der Punkte als Aufpunkt und das Vektorprodukt zweier Verbindungsvektoren als Normalenvektor für ihre Gleichung in Normalenform verwenden.
Beispiel
Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|2|-2), B(3|-3|-5) und C(5|-3|4) geht, eine Gleichung in Normalenform (Koordinatendarstellung) an.
Wie wandelt man die Koordinatengleichung einer Ebene in eine Parametergleichung um?
#1455

Gegeben ist eine Koordinatengleichung einer Ebene:

\[ a x_1 + b x_2 + c x_3 + d = 0 \]

Vorgehen zum Umformen in die Parametergleichung

  1. Aufpunkt bestimmen:
    Gesucht ist ein beliebiger Punkt \( P \) der Ebene.

    Tipp: Man kann zwei Koordinaten (z.B. \( x_1 \) und \( x_2 \)) gleich 0 setzen und die dritte mithilfe der Gleichung bestimmen.


  2. Normalenvektor ablesen: \[ \vec{n}=\begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix} \]

  3. Richtungsvektoren bestimmen:
    Gesucht sind zwei linear unabhängige Vektoren \( \vec{v} \) mit \[ \vec{n}\circ\vec{v}=0 \] also Lösungen der Gleichung \[ a \cdot v_1 + b \cdot v_2 + c \cdot v_3 = 0 \]

    Tipp: Man kann eine Koordinate (z.B. \( v_3 \)) gleich 0 setzen und die beiden anderen mithilfe der Gleichung bestimmen. Für den zweiten Richtungsvektor wählt man eine andere Koordinate als 0.


  4. Parametergleichung aufstellen: \[ E: \vec{x}=\overrightarrow{OP}+r\cdot \vec{v_1}+s\cdot \vec{v_2} \]
Beispiel
Gib eine Parametergleichung zu der folgenden Koordinatengleichung einer Ebene an:

\(E: 5x_1-1x_2+17x_3-2=0\)