Koordinatengeometrie im Raum - Punkte und Vektoren, Matheübungen

Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem, Darstellen von Punkten und einfachen Körpern, Vektoren und deren Länge. - Lehrplan für 5.-13. Klasse - 53 Aufgaben in 10 Levels

Hilfe
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema

    Ein Punkt \( P(p_1 \mid p_2 \mid p_3) \) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt

    • im I. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 > 0 \)
    • im II. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 > 0 \)
    • im III. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 > 0 \)
    • im IV. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 > 0 \)
    • im V. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 < 0 \)
    • im VI. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 < 0 \)
    • im VII. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 < 0 \)
    • im VIII. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 < 0 \text{.}\)
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Kreuze die richtige Option an.

    • Der Punkt \(P(1|2|2)\) liegt im

    I. Oktanten \(\,\) II. Oktanten \(\,\) III. Oktanten \(\,\) IV. Oktanten
    V. Oktanten \(\,\) VI. Oktanten \(\,\) VII. Oktanten \(\,\) VIII. Oktanten.

Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt die Aufgabe als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diesen Level verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema
Wie bestimmt man den Oktanten eines Punktes im 3D-Koordinatensystem?
#1480

Ein Punkt \( P(p_1 \mid p_2 \mid p_3) \) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt

  • im I. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im II. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im III. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im IV. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 > 0 \)
  • im V. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 < 0 \)
  • im VI. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 > 0 \) und \( p_3 < 0 \)
  • im VII. Oktanten, wenn \( p_1 < 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 < 0 \)
  • im VIII. Oktanten, wenn \( p_1 > 0 \), \( p_2 < 0 \) und \( p_3 < 0 \text{.}\)
Beispiel
Gib an, in welchem Oktant der Punkt \( P(-1|-2|-5) \) liegt.
Wie erkennt man die Lage eines Punktes P(p1 | p2 | p3) bezüglich der Achsen und Ebenen im Koordinatensystem?
#442
Ein Punkt P(p1 | p2 | p3) im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt
  • auf der x1-Achse, wenn p2 = p3 = 0
  • auf der x2-Achse, wenn p1 = p3 = 0
  • auf der x3-Achse, wenn p1 = p2 = 0
  • in der x1x2-Ebene, wenn p3 = 0
  • in der x1x3-Ebene, wenn p2 = 0
  • in der x2x3-Ebene, wenn p1 = 0
Punkte auf der x1-Achse liegen erst recht in der x1x2-Ebene und in der x1x3-Ebene. Für Punkte auf der x2-Achse und auf der x3-Achse gilt dies analog.
Wie lauten die Koordinaten der Spiegelpunkte von P(p1 | p2 | p3) an den Achsen und Ebenen des Koordinatensystems?
#443
Spiegelung von P(p1 | p2 | p3) an der...
  • x1-Achse ⇒ P ´ (p1 | −p2 | −p3)
  • x2-Achse ⇒ P ´ (−p1 | p2 | −p3)
  • x3-Achse ⇒ P ´ (−p1 | −p2 | p3)
  • der x1x2-Ebene ⇒ P ´ (p1 | p2 | −p3)
  • der x1x3-Ebene ⇒ P ´ (p1 | −p2 | p3)
  • der x2x3-Ebene ⇒ P ´ (−p1 | p2 | p3)
Wie erhält man einen Vektor gleicher Richtung, aber anderer Länge?
#1481

Wenn man zu einem gegebenen Vektor \( \vec{v}=\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \) einen Vektor mit gleicher Richtung aber anderer Länge bestimmen möchte, geht man wie folgt vor:

Zuerst bestimmt man den Einheitsvektor des gegebenen Vektors. Er hat die Länge \(1\) und zeigt in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche Vektor. Es gilt:

\[ \vec{v_0} = \frac{1}{|\vec{v}|}\cdot \vec{v} \text{ mit } |\vec{v}| = \sqrt{a^2+b^2+c^2} \]

Soll der neue Vektor die Länge \(k\) besitzen, multipliziert man den Einheitsvektor mit \(k\):

\[ \vec{v_{neu}} = k \cdot \vec{v_0} \]

Der Vektor \( \vec{v_{neu}} \) hat damit dieselbe Richtung wie \( \vec{v} \), aber die gewünschte Länge \(k\).

Beispiel

Bestimme den Vektor, der dieselbe Richtung wie der angegebene Vektor und die vorgegebene Länge hat:

\[ \vec{r} = \begin{pmatrix} -8\\0\\6 \end{pmatrix} \text{,}\qquad \text{Länge: }3 \]

Wie berechnet man die Koordinaten eines Vektors von Punkt A nach Punkt B?
#444
Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also

b1 − a1
b2 − a2
b3 − a3

Beispiel
Bestimme die Verbindungsvektoren von A(7|1) nach B(2|4) und von P(1|2|3) nach Q(3|-1|4)
AB
=
?
?
;
PQ
=
?
?
?
Wie berechnet man die Länge eines Vektors?
#446
Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel
Berechne die Länge von
 
a
=
5
−
3
 
und
 
b
=
1
4
7