Koordinatensytsem im Raum - vermischte Aufgaben, Matheübungen

Vermischte Aufgaben - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 5 Aufgaben in 1 Level

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  • Hilfe zum Thema

    Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

    \[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

    Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

    • Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
    • Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
    • Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).


    Für die Lotgerade \( g \) zu einer Ebene \( E \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:

    • \( P \) als Aufhängepunkt und
    • den Normalenvektor von \( E \) als Richtungsvektor.

    Für die Lotebene \( E \) zu einer Geraden \( g \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:

    • \( P \) als Aufhängepunkt und
    • den Richtungsvektor von \( g \) als Normalenvektor.


    Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

    • Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Geraden \( g \): Bestimme die Lotebene \( E \) zu \( g \) durch \( P \). Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
    • Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Ebene \( E \): Bestimme die Lotgerade \( g \) zu \( E \) durch \( P \). Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
    • Spiegelung einer Geraden \( g \) an einer Ebene \( E \): Spiegle zwei Punkte von \( g \) an der Ebene \( E \) und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
    • Spiegelung einer Kugel an einer Ebene \( E \): Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an \( E \) und übernimm den Radius.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Beschreibe in mehreren Teilschritten, wie man ...
    • … den Schnittwinkel zwischen einer Geraden g und einer in Parameterform gegebenen Ebene E ermittelt. (Gehe davon aus, dass sich g und E schneiden.)
    Man bestimmt zuerst …
    Mit der üblichen Formel berechnet man den Winkel φ zwischen …
    Der gesuchte Schnittwinkel zwischen E und g ergibt sich, indem man …
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Stoff zum Thema
Wie bestimmt man den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, einer Geraden und einer Ebene sowie zwischen zwei Ebenen?
#798

Für den Winkel \( \alpha \) zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, \( 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \)) gilt:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\text{Skalarprodukt beider Vektoren}} {\text{Produkt ihrer Längen}} \]

Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:

  • Sich schneidende Geraden \( g \) und \( h \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).
  • Sich schneidende Gerade \( g \) und Ebene \( E \): Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von \( g \) und dem Normalenvektor von \( E \) von \( 90^\circ \) (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig).
  • Sich schneidende Ebenen \( E \) und \( F \): Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser \( > 90^\circ \), subtrahiere ihn noch von \( 180^\circ \)).


Für die Lotgerade \( g \) zu einer Ebene \( E \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:

  • \( P \) als Aufhängepunkt und
  • den Normalenvektor von \( E \) als Richtungsvektor.

Für die Lotebene \( E \) zu einer Geraden \( g \) durch einen Punkt \( P \) wählt man:

  • \( P \) als Aufhängepunkt und
  • den Richtungsvektor von \( g \) als Normalenvektor.


Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:

  • Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Geraden \( g \): Bestimme die Lotebene \( E \) zu \( g \) durch \( P \). Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
  • Spiegelung eines Punkts \( P \) an einer Ebene \( E \): Bestimme die Lotgerade \( g \) zu \( E \) durch \( P \). Der Schnittpunkt \( S \) von \( E \) und \( g \) ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von \( S \) den Verbindungsvektor von \( P \) und \( S \).
  • Spiegelung einer Geraden \( g \) an einer Ebene \( E \): Spiegle zwei Punkte von \( g \) an der Ebene \( E \) und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
  • Spiegelung einer Kugel an einer Ebene \( E \): Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an \( E \) und übernimm den Radius.