Limes/Verhalten im Unendlichen, Matheübungen

Verhalten einer Funktion für x gegen Unendlich (x → ∞), Limesbestimmung bei einfachen Funktionstermen und anhand von Graphen; Bestimmung des Schwellenwerts bei vorgegebenem ε

Hilfe

  • Der Limes von f(x) für x → ∞ bzw. x → -∞ gibt an, wie sich die Funktion am äußeren rechten/linken Rand des Definitionsbereichs, also für "sehr, sehr große/kleine" x-Werte verhält:

    Fall Der Funktionswert Der Graph Limes
    Konvergenz ...nähert sich einem Wert c an, d.h. |f(x) − c| wird beliebig klein ...besitzt die waagrechte Asymptote y = c = c
    bestimmte Divergenz ...wird beliebig groß bzw. beliebig klein, d.h. er überschreitet/unterschreitet jede noch so große/kleine Marke ...steigt/fällt immer weiter nach oben/unten (nicht zwangsläufig monoton) = ± ∞
    unbestimmte Divergenz weder die erste noch die zweite Zeile treffen zu existiert nicht
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Bestimme anhand des Graphen. Aktiviere die Tastatur für Sonderzeichen, um "∞" eingeben zu können. Gib "!" ein, falls der jeweilige Limes nicht existiert.

  • graphik
    lim
    x
     
    →
     
    ∞
     
    f(x)
    =
    lim
    x
     
    →
     
    −
    ∞
     
    f(x)
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung

Ist der Funktionsterm f(x) gegeben, lässt sich der Limes von f(x) für x → ∞ bzw. x → -∞ auf verschiedene Arten ermitteln; am Beispiel f(x) = 1/x:

  • indem man den Graphen skizziert; hier ergibt sich die bekannte Hyperbel mit der x-Achse als waagrechte Asymptote, also geht 1/x gegen 0.
  • durch Überlegung, hier die Überlegung "ein Bruch mit festem Zähler wird (vom Betrag her) beliebig klein, wenn der Nenner nur groß genug ist".
  • mit Hilfe einer Wertetabelle, z.B. setzt man hier in den Term 1/x der Reihe nach die x-Werte 10; 100; 1000; 10 000 (stellvertretend für x → ∞) ein und stellt fest, dass sich die entsprechenden y-Werte 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 immer weniger von 0 unterscheiden.
Wie bestimmt man den Limes einer Funktion, die als Summe, Differenz, Produkt oder Quotient zweier Funktionsterme ausgedrückt wird?
#521

Handelt es sich bei f(x) um eine Summe, so kann der Limes von f(x) oft dadurch bestimmt werden, dass man den Limes der Summanden einzeln bestimmt und die Ergebnisse addiert. Geht zum Besipiel der erste Summand gegen a und der zweite gegen b, so geht f(x) gegen a+b. Sofern dabei ∞ auftritt, beachte folgende Regeln (in Anführungszeichen schreiben!):

"c + ∞" = ∞
"c + (-∞)" = -∞

Soll heißen: Wenn ein Summand gegen c geht und der andere gegen ∞, dann geht f(x) gegen ∞. Zweite Zeile analog.

Genauso kann man bei Differenzen, Produkten und Quotienten verfahren. Beachte im Zusammenhang mit ∞ die Regeln:

"c − ∞" = -∞
"∞ − c" = ∞
"c · ∞" = ±∞   [+ wenn c positiv; − wenn c negativ]
"∞ : c" = ±∞ [+ wenn c positiv; − wenn c negativ]
"c : ∞" = 0

KEINE Regel gibt es für folgende Fälle. Hier muss man den Term evtl. umformen, um den Limes richtig zu ermitteln:

"∞ − ∞" = ?
"∞ : ∞" = ?
"0 · ∞" = ?
Beispiel
l i m
x → -∞
 
−
1000
−
1
3
·
x
3
=
?
Welche drei Möglichkeiten gibt es für das Verhalten einer Funktion im Unendlichen?
#519

Der Limes von f(x) für x → ∞ bzw. x → -∞ gibt an, wie sich die Funktion am äußeren rechten/linken Rand des Definitionsbereichs, also für "sehr, sehr große/kleine" x-Werte verhält:

Fall Der Funktionswert Der Graph Limes
Konvergenz ...nähert sich einem Wert c an, d.h. |f(x) − c| wird beliebig klein ...besitzt die waagrechte Asymptote y = c = c
bestimmte Divergenz ...wird beliebig groß bzw. beliebig klein, d.h. er überschreitet/unterschreitet jede noch so große/kleine Marke ...steigt/fällt immer weiter nach oben/unten (nicht zwangsläufig monoton) = ± ∞
unbestimmte Divergenz weder die erste noch die zweite Zeile treffen zu existiert nicht
Beispiel
Bestimme aufgrund der Abbildung:
lim
x
 
→
 
∞
 
f(x)
 
        
 
lim
x
 
→
 
−
∞
 
f(x)
 
        
 
lim
x
 
→
 
∞
 
g(x)
graphik
Wenn f(x) für x → ∞ gegen c konvergiert, so bedeutet dies, dass |f(x) − c| kleiner als jede noch so winzige positive Zahl ε ist - wenn x nur groß genug gewählt wird.

Wie groß x dafür sein muss, ermittelt man mit Hilfe der Ungleichung

|f(x) − c| < ε

Beispiel
f(x)
=
2
x
+
1
−
4
Ermittle den Grenzwert c für 
x
 
→
 
∞
 und ermittle das maximale Intervall ]?;∞[, in dem sich f(x) und c um weniger als 0,05 unterscheiden.

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