Lineare Gleichungen mit zwei Variablen und Gleichungssysteme, Matheübungen

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen; Lineare Gleichungssysteme graphisch lösen; Sonderfälle und ihre graphische Interpretation - Lehrplan für 5.-11. Klasse

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  • Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

    Lineare Gleichungen mit zwei Variablen lassen sich zum Beispiel in folgender Form schreiben:
    • ax + by = c ("Normalform" einer linearen Gleichung mit zwei Variablen)
    • y = mx + b (nach y aufgelöste Gleichung)
    Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen hat immer mehrere Lösungen.
    • Die Lösungen sind Wertepaare (x|y), d.h. Einsetzen des Wertepaars (x|y) führt zu einer wahren Aussage.
    • Alle Lösungen (Wertepaare) der Gleichung liegen auf einer Geraden. Löst man die Gleichung nach y auf, so beschreibt die Gleichung die Gerade, auf der alle Lösung-Paare liegen.

Löse die Gleichung nach y auf. Evtl. auftretende Brüche/gemischte Zahlen können in der Form "a/b" bzw. "a b/c" angegeben werden.

  • 6
     
    x
    −
    2
     
    y
    =
    5
    y=
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Lineare Gleichungssysteme, einfache Beispiele
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Lineare Gleichungssysteme, einfache Beispiele

Kanal: Mathegym
Wie ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen definiert und welche Lösungen hat sie?
#875

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen lassen sich zum Beispiel in folgender Form schreiben:
  • ax + by = c ("Normalform" einer linearen Gleichung mit zwei Variablen)
  • y = mx + b (nach y aufgelöste Gleichung)
Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen hat immer mehrere Lösungen.
  • Die Lösungen sind Wertepaare (x|y), d.h. Einsetzen des Wertepaars (x|y) führt zu einer wahren Aussage.
  • Alle Lösungen (Wertepaare) der Gleichung liegen auf einer Geraden. Löst man die Gleichung nach y auf, so beschreibt die Gleichung die Gerade, auf der alle Lösung-Paare liegen.
Wie löst man eine lineare Gleichung zeichnerisch?
#423
Jede lineare Gleichung mit einer Unbekannten kann auch zeichnerisch gelöst werden: Die Terme links und rechts vom Gleichheitszeichen werden dabei als Geraden interpretiert (y = ...). Zeichne die Geraden ein und schaue, ob und - wenn ja - wo sie sich schneiden.
Beispiel
Löse durch Zeichnung:
a) 
2
−
1
2
 
x
=
3
+
1,5
 
x
b) 
−
3x
+
0,25
=
−
1
2
Wie kann eine lineare Gleichung mit zwei Variablen interpretiert werden?
#424
Jede lineare Gleichung mit zwei Variablen x und y kann als Gerade interpretiert werden. Jeder Punkt (x- und y-Koordinate) der Gerade stellt eine von unendlich vielen Lösungen dar.
Beispiel
−
0,6x
−
0,75y
=
1,8
Stelle diese Gleichung als Gerade dar und lies drei Lösungen ab.
Wie kann ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten graphisch interpretiert werden?
#367
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten kann graphisch übersetzt werden:

Jede Gleichung (=Zeile) entspricht einer Geraden. Die Lösung des Gleichungssystems entspricht dann dem Schnittpunkt beider Geraden. Beachte die Sonderfälle:

  • keine Lösung bedeutet, dass die Geraden echt parallel sind
  • unendlich viele Lösungen bedeutet, dass die Geraden identisch sind
Was ist die allgemeine Gleichung einer Geraden und was bedeuten die darin vorkommenden Parameter?
#632
Eine lineare Funktion mit der Gleichung y = m·x + b ergibt grafisch immer eine Gerade. Dabei ist m die Steigung (zeigt an, wie stark die Gerade steigt oder fällt) und b der y-Achsenabschnitt (zeigt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet) der Gerade.
  • Ist m positiv, so steigt die Gerade (von links nach rechts)
  • Ist m negativ, so fällt die Gerade (von links nach rechts)
  • Ist m = 0, so verläuft die Gerade parallel zur x-Achse
Beispiel
Bestimme zeichnerisch: Welchen y-Achsenabschnitt besitzt die Gerade g, die durch den Punkt (-3 ; -1) geht und parallel ist zur Geraden h mit der Gleichung y = 1 − 0,25x ?