mathematische Sätze und Beweise - OPTIONAL, Matheübungen

Wenn-Dann-Form aufstellen, Voraussetzung und Behauptung erkennen, vom Satz zum Kehrsatz gelangen, den Wahrheitsgehalt von Aussagen prüfen, mathematische Aussagen beweisen und widerlegen - Lehrplan für 5.-11. Klasse

Hilfe
  • Bringe den vorgegebenen Satz in die Wenn-Dann-Form. Vertausche nun den Wenn- und den Dann-Teil, um den Kehrsatz zu erhalten. (Oft kann man den Kehrsatz noch umformulieren und ohne "Wenn" und "Dann" etwas kürzer schreiben.)
  • Zu einer Aussage mit Voraussetzung und Behauptung kann man den Kehrsatz formulieren, indem man Voraussetzung und Behauptung miteinander vertauscht. Das gelingt oft leichter, wenn man ...
    • den ursprünglichen Satz zuerst in die Wenn-Dann-Form bringt,
    • dann den Wenn-Teil und den Dann-Teil miteinander vertauscht
    • und (falls gewünscht) den so erhaltenen Kehrsatz möglichst einfach formuliert.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bilde zum vorgegebenen Satz den Kehrsatz. (Hinweis: Der Satz und/oder der Kehrsatz können auch falsch sein.)

  • "Jedes Quadrat ist ein Rechteck."
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Welche Struktur liegt jeder mathematischen Aussage zugrunde und wie kann man diese durch Umformulierung verdeutlichen?
#806
Manche Sätze der Alltagssprache und alle mathematischen Aussagen besitzen eine (manchmal versteckte) Struktur:
  • Einerseits geben sie an, unter welcher Bedingung oder für welche Objekte oder in welchen Fällen sie eine Aussage treffen. Das ist die Voraussetzung.
  • Außerdem enthalten sie natürlich die eigentliche Behauptung.
Diese Struktur wird deutlich, wenn der Satz in der Wenn-Dann-Form vorliegt:
  • Der Wenn-Teil enthält die Voraussetzung.
  • Der Dann-Teil enthält die Behauptung.
Beispiel 1
Gib die Voraussetzung und die Behauptung an und bringe den Satz in die Wenn-Dann-Form:
"Radfahrer bis 10 Jahren dürfen den Gehweg benutzen."
Beispiel 2
Gib die Voraussetzung und die Behauptung an und bringe den Satz in die Wenn-Dann-Form:
"Jedes achsensymmetrische Dreieck besitzt zwei übereinstimmende Innenwinkel."
Wie kann man den Kehrsatz einer mathematischen Aussage leicht formulieren?
#807
Zu einer Aussage mit Voraussetzung und Behauptung kann man den Kehrsatz formulieren, indem man Voraussetzung und Behauptung miteinander vertauscht. Das gelingt oft leichter, wenn man ...
  • den ursprünglichen Satz zuerst in die Wenn-Dann-Form bringt,
  • dann den Wenn-Teil und den Dann-Teil miteinander vertauscht
  • und (falls gewünscht) den so erhaltenen Kehrsatz möglichst einfach formuliert.
Beispiel
Formuliere zum folgenden Satz den Kehrsatz:
"Jedes Viereck mit vier gleich langen Seiten ist eine Raute."
Wann verwendet man die Formulierung "...genau dann..., wenn..." in der Mathematik und wie ist der Wahrheitsgehalt von Satz und Kehrsatz?
#808
Mathematische Aussagen sind entweder wahr oder falsch. Für den Wahrheitsgehalt von Satz und zugehörigem Kehrsatz sind alle Fälle möglich:
  • Satz und Kehrsatz sind wahr.
  • Der Satz ist wahr, sein Kehrsatz aber falsch.
  • Der Satz ist falsch, sein Kehrsatz aber wahr.
  • Satz und Kehrsatz sind falsch.
Beachte: Insbesondere folgt aus einem wahren Satz nicht, dass auch der Kehrsatz richtig ist!

Wenn ein Satz und sein zugehöriger Kehrsatz wahr sind, verwendet man in der Mathematik oft die Formulierung "...genau dann..., wenn...".
Beispiel: Ein Viereck ist ganau dann eine Raute, wenn sie vier gleich lange Seiten besitzt.
Beispiel
Beurteile, ob der folgende Satz und sein zugehöriger Kehrsatz wahr oder falsch sind:
"Jedes Quadrat besitzt vier gleich lange Seiten."
Wie beweist man eine mathematische Aussage oder widerlegt sie? Welche fünf Strategien gibt es dafür?
#809
Um nachzuweisen, dass eine mathematische Aussage falsch ist, genügt ein Gegenbeispiel: Es muss die Voraussetzungen erfüllen und der Behauptung widersprechen.

Um eine mathematische Aussage zu beweisen, ist ein Beispiel jedoch nicht ausreichend. Die mathematische Aussage ist nur wahr, wenn sie für alle Fälle zutrifft, also allgemeingültig ist. Beim Beweisen können verschiedene Strategien zum Einsatz kommen, die oft miteinander kombiniert werden müssen:
  • Rückgriff auf bekannte Eigenschaften oder Definitionen, z.B.: "Jedes gleichschenklige Dreieck besitzt zwei gleich lange Seitenlängen."
  • Rückgriff auf bereits bewiesene Sätze, z.B.: "Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°."
  • Anwendung bekannter Argumentationsmuster, z.B.: "Dreiecke, die in einer Seitenlänge und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent."
  • Symmetriebetrachtungen, z.B.: "Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch und wird durch die Symmetrieachse in zwei flächengleiche Teildreiecke zerlegt."
  • Aufstellen und Umformen von Termen, z.B.: "Die Summe von zwei aufeinander folgenden Zahlen ist x + (x+1) = 2x + 1, also ungerade."
Beispiel 1
"Wenn die letzte Ziffer einer natürlichen Zahl die 4 ist, dann ist die Zahl selbst durch 4 teilbar."
Beweise oder widerlege diese Aussage.
Beispiel 2
"Jedes Rechteck, das zugleich eine Raute ist, ist ein Quadrat."
Beweise oder widerlege diese Aussage.