Mittlere und lokale Änderungsrate, Matheübungen

Berechnung von mittleren und lokalen (momentanen) Änderungsraten mittels Steigungsdreieck und Differenzenquotient bzw. Differentialquotient

Hilfe
  • Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a; b] ergibt sich durch

    [ f(b) − f(a) ] / ( b − a)

    Aufgrund seiner Struktur nennt man diesen Term auch Differenzenquotient.
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Bestimme die mittlere Änderungsrate. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • Mobilfunkanschlüsse in Deutschland (Quelle BITKOM)
    Jahr
    96
    97
    98
    99
    00
    01
    02
    03
    04
    05
    06
    Anschlüsse (Mio)
    5,6
    8,3
    13,9
    23,5
    48,1
    56,1
    59,2
    64,8
    71,4
    79,2
    82,8
    von 1996 bis 2000:     
     
    m
     
    ≈
     
    Mio/Jahr
    von 2000 bis 2006:     
     
    m
     
    ≈
     
    Mio/Jahr
    Bemerkung: die beliebte Frage nach dem "eingeschlossen oder ausgeschlossen" erübrigt sich hier. Es geht um die Veränderung, also die Differenz zwischen dem "von" und dem "bis"!
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Mittlere und lokale Änderungsrate - Teil 1
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Wie lassen sich die mittlere und lokale Änderungsrate graphisch interpretieren?
#397
Graphisch lässt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b] als Steigung der Geraden (Sekante) durch die entsprechenden Punkte des Graphen veranschaulichen.

Die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a ist folglich die Steigung der Geraden (Tangente), die den Graph im entsprechenden Punkt berührt. Man stelle sich zum besseren Verständnis ein winziges Intervall [a; b] und die zugehörige Sekante vor. Lässt man das Intervall weiter schrumpfen, also b gegen a gehen, wird aus der Sekante eine Tangente.

Beispiel
Schätze die mittlere Änderungsrate im angegebenen Intervall bzw. die lokale Änderungsrate an der gegebenen Stelle ab.
graphik
Intervall [-1; 5]:       
 
m
 
≈ ?
Stelle x
0
=
4:       
 
m ≈ ?
Wie ist der Zusammenhang zwischen dem Differenzenquotienten und der lokalen Änderungsrate?
#640
Rechnerisch ergibt sich die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a, indem man den Grenzwert des Differenzenquotienten

[ f(a+h) − f(a) ] / h

für h → 0 (h ≠ 0) bestimmt. Diesen Grenzwert (sofern er existiert) nennt man Differentialquotient.
Beispiel
Berechne die lokale Änderungsrate an der Stelle a.
f(x)
=
2
x
−
x
;
a
=
−
2
Wie berechnet man die mittlere Änderungsrate einer Funktion und welcher synonyme Begriff ist dafür gebräuchlich?
#396
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a; b] ergibt sich durch

[ f(b) − f(a) ] / ( b − a)

Aufgrund seiner Struktur nennt man diesen Term auch Differenzenquotient.
Beispiel
(1) Maximilian war Ende Januar 1,35 m groß und Ende Juni 1,37 m. Wie groß ist in diesem Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate?
(2) Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate der Normalparabel mit Scheitel im Ursprung im Intervall [3;7]?
Wie bestimmt man die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x_0 mit Differenzenquotienten?
#844

Man kann auch die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x0 mit Hilfe geeigneter Differenzenquotienten bestimmen. Man berechnet dazu

[ f(x) − f(x0) ] / (x − x0)

für x-Werte, die sich von links und von rechts an x0 annähern. Erläuterung: die zugehörigen Sekanten gleichen dadurch immer mehr der Tangente an der Stelle x=x0.

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