Modellieren von Wachstums- und Abklingvorgängen, Matheübungen

Natürliche Exponentialfunktion - Lehrplan für 12. Klasse

Löse Schritt für Schritt.

  • Die Funktion f mit 
    f
     
    x
    =
    e
    –x
    ·
    –2x
    2
    +
    3x
     und Definitionsmenge ℝ gibt für 
    x
     
    ≥
     
    0
     näherungsweise die Auslenkung y (in dm) eines Stoßdämpfers in Abhängigkeit von der Zeit x (in s) an, wenn zum Zeitpunkt x = 0 ein Stoß nach oben erfolgt.
    Löse im Einzelschrittmodus:
    a) Ermittle rechnerisch, welche Auslenkung der Stoßdämpfer nach längerer Zeit hat.
    b) Berechne den Wert von 
    f
     
    '
     
    0
     und beschreibe dessen Bedeutung im Sachzusammenhang.
    Die Definitionsmenge wird nun auf 
    D
    =
    [0;
     
    ∞[
     beschränkt.
    c) Ermittle die Extrempunkte des Graphen von f unter Beachtung des linken Rands der Definitionsmenge.
    d) Bestimme unter Beachtung der Definitionsmenge die Wertemenge von f und beschreibe deren Bedeutung im Hinblick auf den Stoßdämpfer.
    Schritt 1/4
    • Zu a)
    Zur Beantwortung dieser Frage muss berechnet werden.
    Als Ergebnis erhält man den Wert .
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Wie lautet der Funktionsterm für exponentielles Wachstum und Abklingen und wie bestimmt man die Parameter und die prozentuale Änderung?
#1227

Mithilfe eines Funktionsterms der Form f(t)=b⋅at kann man exponentielle Wachstums- und Abklingvorgänge modellieren. Dabei steht t für die Zeit (in einer bestimmten Zeiteinheit), b = f(0) für den Anfangsbestand und a für den Wachstumsfaktor.

Aus dem Wachstumsfaktor kann man die prozentuale Änderungsrate pro Zeiteinheit ermitteln, indem man (a-1)⋅100% rechnet, indem man also vom Wachstumsfaktor 1 subtrahiert und das Ergebnis in Prozent schreibt.

Beispiel
f
 
t
=
25000
·
1,025
t
 gibt näherungsweise die Bevölkerungsentwicklung einer Stadt an. t steht für die Zeit in Jahren seit 2000. Interpretiere die Werte 25000 und 1,025 im Sachzusammenhang und gib an, wie sich die Bevölkerungszahl der Stadt prozentual pro Jahr verändert.
Wie kann man den Funktionsterm eines Wachstums- oder Abklingvorgangs zwischen beliebiger Basis und natürlicher Exponentialfunktion umwandeln?
#1228
Beim Modellieren von Wachstums- und Abklingvorgängen benötigt man statt Exponentialfunktionen mit beliebiger Basis oft natürliche Exponentialfunktionen, z.B. wenn die Ableitung gesucht ist. Dazu ersetzt man die bisherige Basis a durch den äquivalenten Term eln(a) und schreibt f(t)=b⋅eln(a)⋅t. Umgekehrt kann man statt ek⋅t einfach (ek)t schreiben, so dass ek dem Wachstumsfaktor entspricht.
Beispiel 1
graphik
Die Abbildung zeigt den Graphen eines exponentiellen Wachstumsvorgangs. Bestimme einen passenden Term und verwende dabei die natürliche Exponentialfunktion.
Beispiel 2
Ein Patient erhält nach einer Operation eine Infusion mit Schmerzmittel. Näherungsweise soll angenommen werden, dass die Menge des Wirkstoffs im Blut des Patienten nach der Infusion exponentiell abnimmt. Zu Beginn sind 800mg des Wirkstoffs im Blut enthalten, nach drei Stunden hat sich die Wirkstoffmenge durch Verstoffwechslung in der Leber halbiert. Ermittle die Änderungsrate der Wirkstoffmenge im Blut nach einer Stunde. Gib zudem die Einheit und die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
Was sind Verdopplungszeit und Halbwertszeit und wie berechnet man sie aus einem Funktionsterm?
#1229

Für einen exponentiellen Wachstumsvorgang mit dem Funktionsterm f(t) gibt es stets eine Zeitspanne TV (Verdopplungszeit), in der sich die betrachtete Größe verdoppelt. Man ermittelt sie durch Auflösen der Gleichung f(TV) = 2 ⋅ f(0).

Entsprechend gibt es für einen exponentiellen Abklingvorgang mit dem Funktionsterm f(t) stets eine Zeitspanne TH (Halbwertszeit), in der sich die betrachtete Größe halbiert. Man erhält sie durch Auflösen der Gleichung f(TH) = 0,5 ⋅ f(0).

Beispiel
Eine Messgröße kann mithilfe des Terms 
f(t)
=
18
·
e
−
0,065
·
t
 modelliert werden. Dabei steht 
t
 
≥
 
0
 für die Zeit in Minuten. Begründe, ob es eine Zeitspanne gibt, in der sich die Messgröße jeweils verdoppelt oder halbiert, und berechne diese Zeitspanne gegebenenfalls.