n-te Wurzel, Matheübungen

Bestimmung der n-ten Wurzel ohne Taschenrechner, Gleichungen der Art ax^n=b lösen, insbesondere Anzahl der Lösungen

Hilfe
  • Die Gleichung xn=a (n ∈ N)
    • hat KEINE Lösung, wenn n eine gerade Zahl ist und a<0.
    • hat GENAU ZWEI Lösungen, wenn n eine gerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a als auch deren Gegenzahl.
    • hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a.
    • hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a<0, nämlich die Gegenzahl der n-te Wurzel von |a|.
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  • x
    7
    =
    10
    unlösbar
    x
    =
    10
    7
    x
    =
    7
    10
    x
    =
    ±
    10
    7
    x
    =
    ±
    7
    10
    x
    =
    7
    ±10
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    Notizfeld
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keine Berechtigung
Was ist die n-te Wurzel von a und unter welchen Bedingungen ist sie definiert?
#879

Mit der n-ten Wurzel von a≥0 ist die nicht negative Zahl gemeint, die mit n potenziert a ergibt. Z.B. ist 2 die 5-te Wurzel von 32, weil 25=32.

Beachte:Sowohl der Radikand a, also die Zahl unter der n-ten Wurzel, als auch die n-te Wurzel selbst, dürfen per Definition NICHT NEGATIV sein. Das wird oft missachtet, auch die Taschenrechner sind leider so programmiert, dass sie z.B. als dritte Wurzel von −8 die Zahl −2 ausgeben, obwohl eigentlich "Error" ausgegeben werden müsste.

Viele Schüler sehen diese Einschränkung überhaupt nicht ein und argumentieren, dass (−2)3=−8, weshalb die dritte Wurzel von −8 doch erlaubt sein müsse. Das ist für sich genommen richtig, doch würden sich, wenn man negative Zahlen unter einer Wurzel zuließe, Widersprüche bei der Anwendung von Potenzregeln ergeben.

Wie viele Lösungen hat die Gleichung x^n=a (n ∈ N) in Abhängigkeit von a und n?
#880
Die Gleichung xn=a (n ∈ N)
  • hat KEINE Lösung, wenn n eine gerade Zahl ist und a<0.
  • hat GENAU ZWEI Lösungen, wenn n eine gerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a als auch deren Gegenzahl.
  • hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a.
  • hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a<0, nämlich die Gegenzahl der n-te Wurzel von |a|.
Beispiel
Löse, falls möglich:
a
 
x
4
=
−
5
     
b
 
x
4
=
5
     
c
 
x
3
=
5
     
d
 
x
3
=
−
5
     
e
 
x
3
=
0

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