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Normalengleichung und Koordinatengleichung einer Ebene, Mathe-Übungen
- Lehrplan für 5.-13. Klasse
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Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 19.
Stelle zunächst die Vektorgleichung auf.
Beispielaufgabe
Die allgemeine Normalengleichung der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor und einem Aufpunkt P.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.
Von einer Ebene E sind ein Normalenvektor und ein Ebenenpunkt gegeben. Gib eine Normalengleichung der Ebene in Vektor- und in Koordinatenform an.
Normalenvektor
n
=
2
2
1
und P( 3 | -2 | 1)
Normalengleichung der Ebene:
·
x
−
=
0
Koordinatengleichung der Ebene:
x
1
+
x
2
+
x
3
−
=
0
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Stoff zum Thema
Die allgemeine Normalengleichung der Ebene erhält man aus einem Normalenvektor und einem Aufpunkt P.
Beispiel
Die Ebene E besitzt den Normalenvektor
n
=
−
1
−
1
4
und enthält den Punkt P(0|2|0).
Um zu überprüfen, ob der Punkt P(p
1
| p
2
| p
3
) in der Ebene E: n
1
x
1
+ n
2
x
2
+ n
3
x
3
+ n
0
= 0 enthalten ist, setze P in E ein, d.h. überprüfe die Aussage n
1
p
1
+ n
2
p
2
+ n
3
p
3
+ n
0
= 0 auf Richtigkeit.
E: n
1
x
1
+ n
2
x
2
+ n
3
x
3
+ n
0
= 0 ist
Ursprungsebene (d.h. enthält den Ursprung des Koordinatensystems) genau dann, wenn n
0
= 0.
z.B. 3x
1
+ 2x
2
− x
3
= 0 [keine Konstante am Ende].
parallel zur x
1
-Achse genau dann, wenn n
1
= 0.
z.B. 2x
2
− x
3
+ 5 = 0 [x
1
kommt nicht vor].
parallel zur x
1
x
2
-Ebene genau dann, wenn n
1
= n
2
= 0.
z.B. 2x
3
+ 3 = 0 [x
1
und x
2
kommen nicht vor].
Für die anderen Koordinatenachsen und -ebenen analog.
Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man einen der Punkte als Aufpunkt und das Vektorprodukt zweier Verbindungsvektoren als Normalenvektor für ihre Gleichung in Normalenform verwenden.
Beispiel
Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|2|-2), B(3|-3|-5) und C(5|-3|4) geht, eine Gleichung in Normalenform (Koordinatendarstellung) an.
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