Normalverteilung - Analysis der Gauß'schen Glockenfunktion, Matheübungen

Bedeutung der Parameter μ (Mittelwert) und σ (Standardabweichung), Bestimmung von μ und σ anhand des Terms der Glockenfunktion bzw. ihres Graphen - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 16 Aufgaben in 3 Levels

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    Eine Gauß'sche Glockenfunktion besitzt den in der Abbildung dargestellten Graphen und Term:
    • Lage des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
    μ gibt die x-Koordinate des Hochpunkts und die Lage der senkrechten Symmetrieachse an.
    • Form des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
    Je größer σ ist, desto "breiter" wird der Graph. σ gibt an, wie weit die Wendestellen von der Extremstelle entfernt sind. Damit die Fläche unter dem Graphen den Inhalt 1 beibehält, muss er mit zunehmender Streckung in x-Richtung entlang der y-Achse gestaucht werden.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 1
  • Entscheide, welche der Aussagen über Gauß'sche Glockenfunktionen und deren Integralfunktionen zutreffen.
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
    • φ
    μ;
     
    σ
     
    x
    =
    1
    σ
    2π
    ·
    e
    −
    x
    −
    μ
    2
    2σ
    2
     mit 
    μ
     
    ∈
     
    ℝ
     und 
    σ
     
    >
     
    0
     ist ein Funktionsterm einer Gauß'schen Glockenfunktion. Für sie gilt:
    lim
    x
     
    →
     
    +
    ∞
     
    φ
    μ;
     
    σ
     
    x
    =
     
    lim
    x
     
    →
     
    −
    ∞
     
    φ
    μ;
     
    σ
     
    x
    =
     
    Begründung: Der Exponent des zweiten Faktors von 
    φ
    μ;
     
    σ
     
    x
     geht für 
    x
     
    →
    +
    ∞
     gegen und für 
    x
     
    →
    −
    ∞
     gegen
    Zudem gilt
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Stoff zum Thema
Wie lautet der Term einer Gauß'schen Glockenfunktion und wie beeinflussen μ und σ die Lage und Form ihres Graphen?
#1307

Eine Gauß'sche Glockenfunktion besitzt den in der Abbildung dargestellten Graphen und Term:
  • Lage des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
μ gibt die x-Koordinate des Hochpunkts und die Lage der senkrechten Symmetrieachse an.
  • Form des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion
Je größer σ ist, desto "breiter" wird der Graph. σ gibt an, wie weit die Wendestellen von der Extremstelle entfernt sind. Damit die Fläche unter dem Graphen den Inhalt 1 beibehält, muss er mit zunehmender Streckung in x-Richtung entlang der y-Achse gestaucht werden.
Beispiel 1

Gegeben ist die Gauß'sche Glockenfunktion \(\varphi(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}\cdot e^{-\frac{(x-4)^2}{8}}\) mit der Integralfunktion \(\Phi(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)\,dt\text{.}\)

a) Bestimme für den Graphen von \(\varphi\) die Stelle des Hochpunkts und der Wendepunkte.

b) Gib für den Graphen von \(\Phi\) die Symmetrie und die Stelle der größten Steigung an.

Beispiel 2
Entscheide, ob der folgende Term zu einer Gauß'schen Glockenfunktion gehören kann, und ermittle gegebenenfalls passende Werte für die Parameter μ und σ:
φ
 
x
=
2
2π
·
e
−
2x
2
+
2x
−
0,5
Beispiel 3

Ermittle anhand des Graphen der Gauß'schen Glockenfunktion bzw. ihrer Integralfunktion die Parameter \(\mu\) und \(\sigma\text{.}\)

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Gauß'schen Glockenfunktion.

Die Abbildung zeigt den Graphen der Integralfunktion einer Gauß'schen Glockenfunktion mit Untergrenze \(-\infty\text{.}\)