Normalverteilung - diskrete und stetige Zufallsgrößen, Matheübungen

Unterscheidung zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen, Wahrscheinlichkeitsbestimmung mit Hilfe der Dichtefunktion, Zusammenhang zwischen kumulativer Wahrscheinlichkeit und Dichtefunktion. - Lehrplan für 5.-13. Klasse - 23 Aufgaben in 5 Levels

Hilfe
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Eine in einem Intervall I definierte Funktion f, aus der man Wahrscheinlichkeiten durch Integration bestimmen kann, nennt man Dichtefunktion. Sie muss die folgenden Bedingungen erfüllen:
    • f(x) ≥ 0 für alle x ∈ I (Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist nie negativ.)
    • Das Integral über f auf dem gesamten Intervall I besitzt den Wert 1. (Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist stets 100%.)
    Für die zugehörige stetig verteilte Zufallsgröße X und r, s ∈ I ergibt sich die Wahrscheinlichkeit P(r ≤ X ≤ s) durch Integration über f von r bis s.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 2
  • Entscheide, ob f im angegebenen Bereich die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße ist, und begründe deine Entscheidung.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • Kreuze für 
    f
     
    x
    =
    1
    3
     
    x
     und 
    0
     
    ≤
     
    x
     
    ≤
     
    6
     alle zutreffenden Aussagen an:
     ▉  
    f
     
    x
     
    ≥
     
    0
     ▉  
    6
    0
    1
    3
     
    x
     
    dx
    =
    1
    Somit ist f im betrachteten Intervall
     ▉  die Dichtefunktion
     ▉  nicht die Dichtefunktion
    einer stetigen Zufallsgröße.
    Schritt 1 von 3
    Prüfe für 
    0
     
    ≤
     
    x
     
    ≤
     
    6
     die Aussage 
    f
     
    x
     
    ≥
     
    0
    .
    Sie ist weil der Graph von f eine ist, und f im betrachteten Bereich somit Funktionswerte annimmt.
  • keine Berechtigung
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Wenn du ein Benutzerkonto hast, logge dich bitte zuvor ein.
Lösung
Achtung
Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema (+Video)
Stetige Zufallsgrößen und die Dichtefunktion
Lernvideo

Stetige Zufallsgrößen und die Dichtefunktion

Kanal: Mathehoch13
Wie unterscheidet man diskrete und stetige Zufallsgrößen?
#1300
Man unterscheidet zwischen diskreten und stetigen Zufallsgrößen:
  • Eine diskrete Zufallsgröße kann nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annehmen. Ihre Wertemenge ist also endlich oder enthält genauso viele Elemente wie die Menge der natürlichen Zahlen (also unendlich viele „einzelne“ Werte).
  • Eine stetige Zufallsgröße nimmt beliebige reelle Zahlen aus einer nicht abzählbaren Menge als Werte an, z.B. Zahlen aus einem nicht leeren Intervall reeller Zahlen.
    • ´
Beispiel
Bei der Aufzeichnung einer Fernseh-Show interessiert sich der Produzent für die Lautstärke (genauer: den "Schalldruckpegel" in Dezibel), mit der das Publikum zu einem zufälligen Zeitpunkt applaudiert. Diese wird mit der Zufallsgröße L bezeichnet. Entscheide, ob es sich bei L um eine stetige oder diskrete Zufallsgröße handelt, und begründe deine Entscheidung.
Welche Bedingungen muss die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße erfüllen und wie berechnet man damit Wahrscheinlichkeiten?
#1301
Eine in einem Intervall I definierte Funktion f, aus der man Wahrscheinlichkeiten durch Integration bestimmen kann, nennt man Dichtefunktion. Sie muss die folgenden Bedingungen erfüllen:
  • f(x) ≥ 0 für alle x ∈ I (Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist nie negativ.)
  • Das Integral über f auf dem gesamten Intervall I besitzt den Wert 1. (Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist stets 100%.)
Für die zugehörige stetig verteilte Zufallsgröße X und r, s ∈ I ergibt sich die Wahrscheinlichkeit P(r ≤ X ≤ s) durch Integration über f von r bis s.
Beispiel 1
Gegeben ist die Funktion f mit 
f
 
x
=
−
2
9
 
x
2
+
2
3
 
x
 für 
0
 
≤
 
x
 
≤
 
3
.
Zeige, dass f die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X ist.
Beispiel 2
Die stetige Zufallsgröße X besitzt die Funktion f mit 
f
 
x
=
−
2
9
 
x
2
+
2
3
 
x
 für 
0
 
≤
 
x
 
≤
 
3
 als Dichtefunktion. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X mindestens den Wert 2 annimmt.
Beispiel 3
Jonas hat sich zum letzten Jahreswechsel vorgenommen, seine tägliche Bildschirmzeit zu reduzieren und dafür täglich Buch zu führen, wie viele Stunden er vor einem Bildschirm gesessen ist. Am Ende des Jahres ist er stolz auf seine Fortschritte: An keinem Tag hat er mehr als drei Stunden vor dem Bildschirm verbracht und an den meisten Tagen sogar deutlich weniger als drei Stunden. Mit der Zufallsgröße B bezeichnet er die Bildschirmzeit in Stunden an einem zufällig ausgewählten Tag. Die Auswertung seiner Daten ergibt näherungsweise den dargestellten Graphen 
G
f
,
 der für 0 ≤ x ≤ 3 durch die Funktion 
f
 
x
=
1
9
·
x
−
3
2
 beschrieben werden kann. Dabei gibt x die Bildschirmzeit in Stunden an, und 
f
 
x
 kann als Modell für die Dichtefunktion der Zufallsgröße B verwendet werden.
graphik
Jonas ärgert sich lediglich darüber, dass er an manchen Tagen eine Bildschirmzeit von mindestens zwei Stunden hatte (Ereignis Z). Berechne die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses Z.
Wie ist die kumulative Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsgröße definiert und wie berechnet man damit Wahrscheinlichkeiten?
#1304
Besitzt eine stetige Zufallgröße X mit Werten aus [a; b] die Dichtefunktion f, so ist die zugehörige kumulative Verteilungsfunktion von X die Integralfunktion F von f mit Untergrenze a. Kennt man die kumulative Verteilungsfunktion F von X, so gilt: P(X ≤ x) = F(x).