Normalverteilung - Wahrscheinlichkeitsbestimmung und Modellierung, Matheübungen

Wahrscheinlichkeitsbestimmung bei normalverteilter Zufallsgröße; μ und σ oder Graph der Dichtefunktion gegeben; Modellierung - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 30 Aufgaben in 6 Levels

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    Die kumulative Verteilungsfunktion \(\displaystyle \Phi\) einer normalverteilen Zufallsgröße besitzt unter anderem folgende Eigenschaften:

    • Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung folgt stets \(\displaystyle \Phi(\mu)=0{,}5\).
    • Wahrscheinlichkeiten der Form \(\displaystyle P(X\leq x)\) können als Funktionswert \(\displaystyle \Phi(x)\) am Graphen abgelesen werden.
    • Da die Normalverteilung eine stetige Verteilung ist, folgt \(\displaystyle P(X \leq x) = P(X < x)=\Phi(x)\).
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 1
  • Gegeben ist der Graph \(G_\Phi \) einer kumulativen Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsgröße. Entscheide, welche Aussagen zutreffen.
    • graphik

    \(P(X=2) = 0{,}5 \)
    \(P(X \leq 2) = 0{,}5 \)
    \(P(X \geq4) \approx 0{,}9 \)
    \(P(X\leq4) \approx 0{,}9 \)
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Wie nutzt man die kumulative Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsgröße zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und welche besonderen Eigenschaften hat sie?
#1487

Die kumulative Verteilungsfunktion \(\displaystyle \Phi\) einer normalverteilen Zufallsgröße besitzt unter anderem folgende Eigenschaften:

  • Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung folgt stets \(\displaystyle \Phi(\mu)=0{,}5\).
  • Wahrscheinlichkeiten der Form \(\displaystyle P(X\leq x)\) können als Funktionswert \(\displaystyle \Phi(x)\) am Graphen abgelesen werden.
  • Da die Normalverteilung eine stetige Verteilung ist, folgt \(\displaystyle P(X \leq x) = P(X < x)=\Phi(x)\).
Was ist eine normalverteilte Zufallsgröße X und wie bestimmt man die Wahrscheinlichkeit für Werte in einem Intervall [a; b]?
#1329
Eine Zufallsgröße X nennt man normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ, wenn ihre Dichtefunktion eine Gauß'sche Glockenfunktion φ mit den Parametern μ und σ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte von X in einem Intervall [a; b] liegen, ist also das Integral über φ mit Untergrenze a und Obergrenze b, und kann mit dem Taschenrechner oder graphisch als Inhalt des entsprechenden Flächenstücks unter dem Graphen von φ ermittelt werden.
Beispiel 1
Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit 
μ
=
30
 und 
σ
=
3
.
 Ermittle die folgenden Wahrscheinlichkeiten auf drei Dezimalen genau. Verwende bei a) den Taschenrechner und ermittle die restlichen Wahrscheinlichkeiten ohne Taschenrechner, aber mit Begründung:
a) 
P
 
25
 
≤
 
X
 
≤
 
35
b) 
P
 
X
 
∈
 
30;
 
35
c) 
P
 
X
=
33
d) 
P
 
X
 
≥
 
25
Beispiel 2
Ein Hersteller von Tiefkühl-Produkten stellt Apfelstrudel mit einem Nenngewicht von 600 Gramm her. Gemäß der sogenannten Fertigpackungsverordnung darf dieses um höchstens 15 Gramm unterschritten werden.
a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Apfelstrudel gegen die Verordnung verstößt, wenn die Gewichte der Apfelstrudel in Gramm normalverteilt sind, im Durchschnitt dem Nenngewicht entsprechen, jedoch eine Standardabweichung von 5 Gramm besitzen.
b) Bestimme außerdem die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Apfelstrudel auf Gramm gerundet wirklich ein Gewicht von 600 Gramm besitzt.
Beispiel 3
graphik
Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße X.
a) Ermittle 
P
 
−
2,5
 
≤
 
X
 
≤
 
0
.
b) Bestimme u so, dass gilt: 
P
 
X
 
≥
 
u
 
≈
 
0,1
.
Beispiel

In einem Schwimmbad wird die Ankunftszeit der Besucher modelliert. Dabei gibt eine normalverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(\mu = 3 \) und \(\sigma = 1\) die Zeit (in Stunden nach Öffnung) an, zu der ein zufällig ausgewählter Besucher das Schwimmbad betritt. Das Schwimmbad öffnet um 8:00 Uhr. Insgesamt kommen pro Tag 150 Besucher.

a) Berechne, wie viele Besucher bis 12:00 Uhr das Schwimmbad betreten.

b) Bestimme die Uhrzeit, zu der der 25. Besucher das Schwimmbad betritt.