Normalverteilung, Matheübungen

Normalverteilung - G8 Lehrplan - 30 Aufgaben in 6 Levels

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level

    Arbeite mit kumulativen Wahrscheinlichkeiten \( P( \ldots \leq X \leq \ldots) \text{.} \)

  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 1
  • Ermittle im Sachzusammenhang.
  • Zwischen­schritte aktivieren

    • In einer Bäckerei wird die Anzahl der bis zum Zeitpunkt \(x\) verkauften Croissants modelliert. Dabei gibt die normalverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(\mu=3\) und \(\sigma = 1\) die Uhrzeit (in Stunden nach Öffnung) an, zu der ein zufällig ausgewähltes Croissant verkauft wird. Die Bäckerei ist von 9:00 Uhr bis 15:00 Uhr geöffnet. Insgesamt werden pro Tag 120 Croissants verkauft.

    a) Berechne, wie viele Croissants bis 12:00 Uhr verkauft werden: \(\approx\) Croissants

    b) Bestimme die Uhrzeit, zu der das 100. Croissant verkauft wird: \(\approx\) Uhr

    Runde deine beiden Ergebnisse jeweils auf eine ganze Zahl.

Beispiel
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Beispiel

In einem Schwimmbad wird die Ankunftszeit der Besucher modelliert. Dabei gibt eine normalverteilte Zufallsgröße \(X\) mit \(\mu = 3 \) und \(\sigma = 1\) die Zeit (in Stunden nach Öffnung) an, zu der ein zufällig ausgewählter Besucher das Schwimmbad betritt. Das Schwimmbad öffnet um 8:00 Uhr. Insgesamt kommen pro Tag 150 Besucher.

a) Berechne, wie viele Besucher bis 12:00 Uhr das Schwimmbad betreten.

b) Bestimme die Uhrzeit, zu der der 25. Besucher das Schwimmbad betritt.

Was ist eine normalverteilte Zufallsgröße X und wie bestimmt man die Wahrscheinlichkeit für Werte in einem Intervall [a; b]?
#1329
Eine Zufallsgröße X nennt man normalverteilt mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ, wenn ihre Dichtefunktion eine Gauß'sche Glockenfunktion φ mit den Parametern μ und σ ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Werte von X in einem Intervall [a; b] liegen, ist also das Integral über φ mit Untergrenze a und Obergrenze b, und kann mit dem Taschenrechner oder graphisch als Inhalt des entsprechenden Flächenstücks unter dem Graphen von φ ermittelt werden.
Beispiel 1
Die Zufallsgröße X ist normalverteilt mit 
μ
=
30
 und 
σ
=
3
.
 Ermittle die folgenden Wahrscheinlichkeiten auf drei Dezimalen genau. Verwende bei a) den Taschenrechner und ermittle die restlichen Wahrscheinlichkeiten ohne Taschenrechner, aber mit Begründung:
a) 
P
 
25
 
≤
 
X
 
≤
 
35
b) 
P
 
X
 
∈
 
30;
 
35
c) 
P
 
X
=
33
d) 
P
 
X
 
≥
 
25
Beispiel 2
graphik
Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße X.
a) Ermittle 
P
 
−
2,5
 
≤
 
X
 
≤
 
0
.
b) Bestimme u so, dass gilt: 
P
 
X
 
≥
 
u
 
≈
 
0,1
.
Beispiel 3
Ein Hersteller von Tiefkühl-Produkten stellt Apfelstrudel mit einem Nenngewicht von 600 Gramm her. Gemäß der sogenannten Fertigpackungsverordnung darf dieses um höchstens 15 Gramm unterschritten werden.
a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Apfelstrudel gegen die Verordnung verstößt, wenn die Gewichte der Apfelstrudel in Gramm normalverteilt sind, im Durchschnitt dem Nenngewicht entsprechen, jedoch eine Standardabweichung von 5 Gramm besitzen.
b) Bestimme außerdem die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Apfelstrudel auf Gramm gerundet wirklich ein Gewicht von 600 Gramm besitzt.
Wie nutzt man die kumulative Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsgröße zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten und welche besonderen Eigenschaften hat sie?
#1487

Die kumulative Verteilungsfunktion \(\displaystyle \Phi\) einer normalverteilen Zufallsgröße besitzt unter anderem folgende Eigenschaften:

  • Aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung folgt stets \(\displaystyle \Phi(\mu)=0{,}5\).
  • Wahrscheinlichkeiten der Form \(\displaystyle P(X\leq x)\) können als Funktionswert \(\displaystyle \Phi(x)\) am Graphen abgelesen werden.
  • Da die Normalverteilung eine stetige Verteilung ist, folgt \(\displaystyle P(X \leq x) = P(X < x)=\Phi(x)\).