Polynomdivision, Matheübungen

Nullstellenbestimmung/Faktorisierung mittels Polynomdivision

Hilfe

  • Das Verfahren der Polynomdivision kann helfen, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades (oder höher) zu bestimmen. Dabei wird die Funktion in ein Produkt aus einem Linearfaktor und einem quadratischen Term umgeschrieben.

    Vorgehen:

    Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx+d.
    Also muss die Gleichung ax³+bx²+cx+d=0 gelöst werden.

    1. Erraten einer Nullstelle x0
      Falls keine Nullstelle bekannt ist, muss man eine Nullstelle erraten. Dazu setzt man testweise ein paar kleine ganze Zahlen wie 0, 1, 2, -1, ... für x in die Funktion ein. Ist das Ergebnis Null, so hat man eine Nullstelle gefunden.

    2. Polynomdivision
      Der Funktionsterm wird durch den Linearfaktor (x−x0) (also "x minus erste Nullstelle") geteilt. Das Ergebnis der Polynomdivision ist ein quadratischer Term q(x). Der ursprüngliche Funktionsterm kann also jetzt als Produkt geschrieben werden:
      f(x)=q(x)·(x−x0)

    3. Lösen der quadratischen Gleichung
      Aus der Gleichung q(x)=0 gewinnt man z.B. mit der pq-Formel bis zu zwei weitere Nullstellen für f(x).
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Löse durch Polynomdivision. (Gib Potenzen in der Form a^b ein.)

  • Die Funktion f mit
    f(x)
    =
    x
    3
    −
    3x
    2
    −
    x
    +
    3
    hat die Nullstelle
    x
    0
    =
    1
    Bestimme die weiteren Nullstellen.
    x
    1
    =
    x
    2
    =
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Wie kann die Polynomdivision zur Bestimmung der Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades oder höher eingesetzt werden?
#783

Das Verfahren der Polynomdivision kann helfen, die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion 3. Grades (oder höher) zu bestimmen. Dabei wird die Funktion in ein Produkt aus einem Linearfaktor und einem quadratischen Term umgeschrieben.

Vorgehen:

Gesucht sind die Nullstellen der Funktion f mit f(x)=ax³+bx²+cx+d.
Also muss die Gleichung ax³+bx²+cx+d=0 gelöst werden.

  1. Erraten einer Nullstelle x0
    Falls keine Nullstelle bekannt ist, muss man eine Nullstelle erraten. Dazu setzt man testweise ein paar kleine ganze Zahlen wie 0, 1, 2, -1, ... für x in die Funktion ein. Ist das Ergebnis Null, so hat man eine Nullstelle gefunden.

  2. Polynomdivision
    Der Funktionsterm wird durch den Linearfaktor (x−x0) (also "x minus erste Nullstelle") geteilt. Das Ergebnis der Polynomdivision ist ein quadratischer Term q(x). Der ursprüngliche Funktionsterm kann also jetzt als Produkt geschrieben werden:
    f(x)=q(x)·(x−x0)

  3. Lösen der quadratischen Gleichung
    Aus der Gleichung q(x)=0 gewinnt man z.B. mit der pq-Formel bis zu zwei weitere Nullstellen für f(x).
Beispiel
Die Funktion f mit
f(x)
=
x
3
−
x
2
−
8x
+
12
hat die Nullstelle
x
0
=
2
Bestimme die weiteren Nullstellen.
x
1
=
?
 
die kleinere
x
2
=
?
 
die größere
Wie funktioniert Polynomdivision und welchen Grad hat das Ergebnispolynom?
#318
Polynomdivision funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division, die du bereits aus der Grundschule kennst. Wenn man ein Polynom vom Grad n durch ein Polynom vom Grad m<n teilt, ist das Ergebnis ein Polynom vom Grad n−m.
Beispiel
1
2
 
x
3
−
4
:
x
−
2
=
?
Wie kann man Polynome vom Grad 3 oder höher faktorisieren?
#639
Polynome (d.h. ganzrationale Terme) vom Grad 3 oder höher lassen sich evtl. faktorisieren (also in ein Produkt aus mehreren Faktoren zerlegen), indem man
  • eine Nullstelle a errät und dann mittels Polynomdivision durch (x − a) teilt.
  • x oder eine höhere Potenz von x (z.B. x³) ausklammert. Das ist aber nur sinnvoll, wenn das Polynom keine additive Konstante aufweist, wie z.B. bei x³ - 4x² + 3x.
  • eine binomische Formel anwendet.
Ein quadratischer Faktor kann mit Hilfe der pq-Formel evtl. weiter zerlegt werden. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen und zerfällt damit in höchstens n lineare Faktoren.

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