Potenzen mit rationalen Exponenten, Matheübungen

n-te Wurzel und Kehrbruch mit Hilfe von Potenzen ausdrücken, Umwandlung zwischen beiden Darstellungsformen, Potenzgesetze anwenden, Lösen von Gleichungen durch geeignete Potenzierung - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe
  • Schreibe zunächst als Produkt, wobei der erste Faktor ein reiner Zahlenterm (ohne Variable) ist.
  • Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt

    b−r = 1 / br

    Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

    b1/n = n√b

    Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt

    bm/n = n√(bm) = (n√b)m

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Ergänze. Evtl. auftretende Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" anzugeben.

  • 4a
    =
     
    a
    Notizfeld
    Notizfeld
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Potenzfunktionen mit rationalem Exponent
Lernvideo

Potenzfunktionen mit rationalem Exponent

Kanal: Mathegym
Wie kann man Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten in natürliche Exponenten umformen?
#374
Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt

b−r = 1 / br

Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

b1/n = n√b

Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt

bm/n = n√(bm) = (n√b)m

Beispiel 1
27
2
3
=
?
 
          
 
0,75
−
2
=
?
Beispiel 2
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
3
25
9
 
          
 
1
8
Beispiel 3
Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht im Nenner oder unter der Wurzel steht:
2
3x
2
 
          
 
3
64
27a
Was sind die fünf grundlegenden Potenzgesetze?
#539
Potenzgesetze:
  1. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
    ap · aq = ap + q

  2. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
    ap : aq = ap − q

  3. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
    aq · bq = (a · b)q

  4. Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
    aq : bq = (a : b)q

  5. Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
    (ap)q = ap·q
Beispiel
Forme, falls möglich, in EINE Wurzel um, in der nur noch positive Exponenten auftreten.
a)  
a
3
·
a
b)  
a
3
a
c)  
5
a
−
2
d)  
a
+
a
1,5
Wie kann man die Gleichung T(x)^r = a lösen und wann gibt es keine Lösung?
#376
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung

T(x)r = a

lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:

T(x) = a1/r

Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
  • eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
  • eine echt rationale Zahl ist: x1/3 = -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Beispiel
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
1
3
 
x
+
1
−
3
4
=
8
 
          
 
3
x
2
−
2
=
−
1
2
Wann gelten zwei Terme als äquivalent?
#375
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Beispiel
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
x
2
 
und
 
x
2
 
          
 
x
2
3
 
und
 
x
3