Quadratische Funktionen - einführende Aufgaben, Matheübungen

grafische Darstellung, Ablesen von Parametern aus Grafen (Scheitelpunktform & faktorisierte Form), leichte Berechnungen (z.B. Wertetabelle und Punktprobe) - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe
  • Denke an die binomischen Formeln.
  • Von der Scheitelpunktform
    y = a⋅(x − xS)2 + yS
    kommt man durch ausquadrieren bzw. dem Anwenden der binomischen Formeln zur allgemeinen Form:
    y = a⋅x² + bx + c
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Betrachte folgende Parabelgleichung und bringe sie durch Ausmultiplizieren in die Form y=ax²+bx+c. Gib dann die Koeffizienten a, b und c an.

  • y
    =
    3
    ·
    x
    −
    2
    2
    −
    6
    a
    =
    b
    =
    c
    =
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Was lässt sich über die Graphen der Funktionen folgender Gleichungen jeweils aussagen: y = x², y = (x + 2)², y = x² + 2, y = (x - 1)² + 3?
#230
  • y = x²:
    Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
  • y = (x + 2)²:
    Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
  • y = x² + 2:
    Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
  • y = (x − 1)² + 3:
    Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Beispiel
Gib die Koordinaten des Scheitels an.
y
=
3
·
x
+
5
2
Welche drei Darstellungsformen gibt es für quadratische Funktionen und wie werden sie beschrieben?
#923
Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
  1. Allgemeine Form:
    y=ax²+bx+c
    Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
     
  2. Scheitelpunktform:
    y=a·(x−xS)²+yS
    Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(xS|yS) ablesen.
     
  3. Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
    y=a·(x−x1)·(x−x2)
    Hieraus lassen sich die Nullstellen x1 und x2 ablesen.
Wie zeichnet man eine Parabel in Scheitelform ohne Wertetabelle?
#917
Um eine in Scheitelform gegebene Parabel mit der Gleichung y=a·(x−xS)²+yS ohne Wertetabelle zu zeichnen, geht man am besten vom Scheitel S aus nacheinander um 1, 2, 3 usw. Einheiten nach rechts und dabei um a·1², a·2², a·3² usw. Einheiten nach oben (a>0) oder unten (a<0). Somit erhält man den rechten Parabelast. Der linke ergibt sich durch Spiegelung.
Beispiel
Zeichne die Parabel mit der Gleichung  
y
=
1
2
 
x
−
3
2
+
1
  in ein Koordinatensystem. Benutze dabei weder den Taschenrechner noch eine schriftliche Wertetabelle.
Wie erstellt man eine Wertetabelle für eine Funktion und was bedeuten die Einträge?
#235
In einer Wertetabelle sind x- und y-Werte einander gegenübergestellt. Die Wertetabelle erhält man, indem man vorgegebene x-Werte in den Funktionsterm einsetzt und so die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Die (x|y)-Paare sind Punkte des Grafen.
Wie überprüft man, ob ein Punkt bezüglich eines Funktionsgraphen auf, über oder unter diesem liegt?
#234
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
  • über dem Graphen, wenn b > f(a)
  • auf dem Graphen, wenn b = f(a)
  • unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Beispiel
f: 
y
=
−
1
2
 
x
2
−
x
+
8
;        
A
 
−
5
 
|
 
−
1
;   
B
 
−
2
 
|
 
9
;   
C
 
1
 
|
 
6,5
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Parabel liegt.
Wie leitet man die allgemeine Form einer Parabelgleichung aus der Scheitelpunktform ab?
#911
Von der Scheitelpunktform
y = a⋅(x − xS)2 + yS
kommt man durch ausquadrieren bzw. dem Anwenden der binomischen Formeln zur allgemeinen Form:
y = a⋅x² + bx + c
Beispiel
Bringe in die allgemeine Form und gib dann die Parameter a, b und c an:
y
=
−
5
·
x
+
2
2
−
1
Was sagt der Graph der Funktion y = ax² (a≠0) über die Form der Parabel aus?
#232

Die durch y = ax² (a≠0) definierte Parabel hat den Scheitel im Ursprung und ist gegenüber der Normalparabel in y-Richtung um das |a|-fache gestreckt (|a|>1) oder gestaucht (|a|<1). Das Vorzeichen von a legt fest, ob die Parabel nach oben (a positiv) oder nach unten (a negativ) geöffnet ist.

Beispiel
Neben der Normalparabel (grau) sind drei verschiedene Parabeln mit der Gleichung y = ax² dargestellt. Lies jeweils das Vorzeichen von a ab und gib an, ob |a|>1 oder |a|<1.
graphik
Wie beeinflussen die Parameter a, xS und yS die Form und Lage einer Parabel mit der Gleichung y = a⋅(x - xS)² + yS?
#913
Durch die Gleichung y = a⋅(x - xS)² + yS (a≠0) ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten xS und yS gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung y = x²
  • nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
  • evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.
Beispiel
Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung
y
=
a
·
x
−
x
S
2
+
y
S
Bestimme a, 
x
S
 und 
y
S
.
graphik
Wie bestimmt man den Formparameter a einer Parabel, wenn die Gleichung bis auf diesen bekannt ist?
#233
Die Gleichung einer Parabel sei bis auf den Formfaktor a bekannt. Dann lässt sich a bestimmen, indem man einen Punkt des Graphen aus dem Koordinatensystem abliest, ihn in die Parabelgleichung einsetzt und die Gleichung nach a auflöst.
Beispiel
graphik