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Quadratische Funktionen - Extremwertaufgaben, Matheübungen
Minimum und Maximum anhand von Grafiken ablesen können, Extremwertaufgaben/Optimierungsaufgaben im Sachzusammenhang - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)
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Hilfe
Eine Parabel mit der Gleichung
y = ax² + bx + c
(
Allgemeine Form
) und dem Scheitel S(s ; t) lässt sich auch durch die Gleichung
y = a (x − s)² + t
(
Scheitelpunktform
) ausdrücken.
Zeichne die Parabel mit Hilfe eines Plotters und gib dann die Scheitelform an.
y
=
−
1
2
x
2
−
3x
−
6,5
y
=
·
x
+
2
+
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+
-
*
:
/
√
^
∞
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>
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie bestimmt man das Maximum bzw. Minimum einer Parabelfunktion und wann tritt es auf?
#1117
Der Scheitelpunkt einer Parabel gibt an, wo die zugehörige Funktion ein Maximum/Minimum hat und wie groß dieses ist. Wenn x
S
die x-Koordinate und y
S
die y-Koordinate des Scheitels ist, so hat die Funktion an der Stelle x
S
das Maximum bzw. Minimum y
S
.
Bei einer nach oben geöffneten Parabel liegt ein Minimum, bei einer nach unten geöffneten Parabel ein Maximum vor.
Wie bestimmt man den Scheitel einer Parabel aus ihren Schnittpunkten mit der x-Achse?
#436
Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x
1
und x
2
schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
x
S
= (x
1
+ x
2
) : 2
Begründung: x
S
(also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x
1
; x
2
]
y
S
= p(x
S
)
d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von x
S
in den Funktionsterm der Parabel
Beispiel
Bestimme Art, Größe und Lage des Extremwerts.
T
x
=
1
2
·
2x
+
1
·
x
−
2,5
Wie löst man Extremwertaufgaben in vier Schritten?
#658
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen
Beispiel
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basislänge 4 und der Höhe 3,5 ist ein Rechteck einbeschrieben. Bestimme Länge und Breite des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.
Wie lautet die Gleichung einer Parabel in Scheitelform, wenn die allgemeine Form y = ax² + bx + c und der Scheitel S(s ; t) gegeben sind?
#432
Eine Parabel mit der Gleichung
y = ax² + bx + c
(
Allgemeine Form
) und dem Scheitel S(s ; t) lässt sich auch durch die Gleichung
y = a (x − s)² + t
(
Scheitelpunktform
) ausdrücken.
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