Quadratische Funktionen - Scheitelbestimmung und Extremwert-/Optimierungsaufgaben, Matheübungen

Minimum und Maximum anhand von Grafiken ablesen können, quadratische Gleichungen in die Scheitelform umwandeln können (quadratische Ergänzung) und rechnerisch den Scheitelpunkt ermitteln; Extremwertaufgaben / Optimierungsaufgaben (Textaufgaben) - G8 Lehrplan - 68 Aufgaben in 15 Levels

Hilfe
  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level
    Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
    1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
    2. Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
    3. Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
    4. Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen
  • Tipp zum Level
    Stelle einen Term für den gesuchten Flächeninhalt auf und bestimme dessen Maximum.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 15
  • Bestimme den größtmöglichen Inhalt für die markierte Fläche.
  • Zwischenschritte aktiviert
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
    • graphik
    In einem Leichtathletik-Stadion besteht die 400m-Laufbahn aus zwei Halbkreisbögen mit Radius r und zwei Strecken der Länge l. Die beiden Strecken begrenzen zusammen mit den beiden Durchmessern der Kreisbögen ein reckteckiges Flächenstück mit dem Flächeninhalt A, das z.B. als Fußballfeld genutzt werden kann (vgl. Abbildung). Ermittle, wie der Radius r der Kreisbögen gewählt werden muss, damit A möglichst groß wird, und gib den maximalen Wert für A an. Runde das Ergebnis auf ganze Quadratmeter. (Hinweis: Zwischenergebnisse sollten nicht gerundet werden.)
    Maximaler Wert für den Flächeninhalt ca. 
     ▉ 
     
    m
    2
    Schritt 1 von 4
    Wähle jeweils den passenden Term aus.
    Für den Flächeninhalt des rechteckigen Feldes:
     
    A
    =
    π
    ·
    r
        
    A
    =
    2π
    ·
    r
     
    A
    =
    r
    ·
    l
        
    A
    =
    2r
    ·
    l
    Für die Länge l in Abhängigkeit vom Radius r (ohne Berücksichtigung der Einheit):
     
    l
    =
    400
    −
    πr
        
    l
    =
    400
    −
    2r
     
    l
    =
    200
    −
    πr
        
    l
    =
    200
    −
    2r
    Für den Funktionsterm von A in Abhängigkeit von r:
     
    A(r)
    =
    2r
    ·
    200
    −
    πr
        
    A(r)
    =
    πr
    ·
    200
    −
    2r
     
    A(r)
    =
    2r
    ·
    400
    −
    2r
        
    A(r)
    =
    r
    ·
    400
    −
    πr
Beispiel
Hilfe
Notizen
Zeichen
Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema (+Video)
Wie bestimmt man das Maximum bzw. Minimum einer Parabelfunktion und wann tritt es auf?
#1117
  • Der Scheitelpunkt einer Parabel gibt an, wo die zugehörige Funktion ein Maximum/Minimum hat und wie groß dieses ist. Wenn xS die x-Koordinate und yS die y-Koordinate des Scheitels ist, so hat die Funktion an der Stelle xS das Maximum bzw. Minimum yS.
  • Bei einer nach oben geöffneten Parabel liegt ein Minimum, bei einer nach unten geöffneten Parabel ein Maximum vor.
Wie bestimmt man den Scheitel einer Parabel aus ihren Schnittpunkten mit der x-Achse?
#436
Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x1 und x2 schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
  • xS = (x1 + x2) : 2
    Begründung: xS (also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x1 ; x2]
  • yS = p(xS)
    d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm der Parabel
Beispiel 1
Bestimme Art, Größe und Lage des Extremwerts.
T
 
x
=
1
2
·
2x
+
1
·
x
−
2,5
Beispiel 2
Die Parabel mit der Gleichung 
y
=
−
3x
2
−
2x
+
1
 schneidet die x-Achse an den Stellen 
x
1
=
−
1
 und 
x
2
=
1
3
. Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Was lässt sich über die Graphen der Funktionen folgender Gleichungen jeweils aussagen: y = x², y = (x + 2)², y = x² + 2, y = (x - 1)² + 3?
#230
  • y = x²:
    Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
  • y = (x + 2)²:
    Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
  • y = x² + 2:
    Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
  • y = (x − 1)² + 3:
    Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Beispiel
Gib die Koordinaten des Scheitels an.
y
=
3
·
x
+
5
2
Wie lautet die Gleichung einer Parabel in Scheitelform, wenn die allgemeine Form y = ax² + bx + c und der Scheitel S(s ; t) gegeben sind?
#432
Eine Parabel mit der Gleichung y = ax² + bx + c (Allgemeine Form) und dem Scheitel S(s ; t) lässt sich auch durch die Gleichung y = a (x − s)² + t (Scheitelpunktform) ausdrücken.
Beispiel
Lass den zugehörigen Graphen von einer Software zeichnen und lies schließlich die Scheitelform der zugehörigen Parabel ab.
y
=
−
0,2x
2
−
x
+
3,25
In Scheitelform: 
y
=
?
Welche Formen einer Parabelgleichung gibt es und wie wandelt man diese um?
#236
Man unterscheidet bei einer Parabel zwischen
  • Allgemeiner Form   y = ax² + bx + c   ⇒ Ablesen des Schnittpunkts mit der y-Achse (0;c)
  • Scheitelpunktform   y = a (x - xS)² + yS   ⇒ Ablesen des Scheitels S

Von der allgemeinen Form ausgehend erhält man die Scheitelpunktform mithilfe der quadratischen Ergänzung.

Beispiel
Bringe 
y
=
1
4
 
x
2
−
2x
+
1
 in Scheitelpunktform und gib den Scheitel an.
Wie löst man Extremwertaufgaben in vier Schritten?
#658
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
  1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
  2. Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
  3. Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
  4. Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen
Beispiel
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basislänge 4 und der Höhe 3,5 ist ein Rechteck einbeschrieben. Bestimme Länge und Breite des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.