Quadratische Funktionen - verschobene Parabel, Scheitelpunktform, Matheübungen

Verschobene Parabeln, Gestreckte und gestauchte Parabeln, Punktprobe, Zusammenhang von Scheitel und Nullstellen einer Parabel, leichte Scheitelbestimmung - Lehrplan für 5.-11. Klasse

Hilfe
    • y = x²:
      Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
    • y = (x + 2)²:
      Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
    • y = x² + 2:
      Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
    • y = (x − 1)² + 3:
      Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
    Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.

Welche Funktionsgleichung beschreibt den Graph?

  • graphik
    y
    =
    x
    2
    +
    3
    y
    =
    x
    +
    3
    2
    y
    =
    x
    2
    −
    3
    y
    =
    x
    −
    3
    2
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Was lässt sich über die Graphen der Funktionen folgender Gleichungen jeweils aussagen: y = x², y = (x + 2)², y = x² + 2, y = (x - 1)² + 3?
#230
  • y = x²:
    Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
  • y = (x + 2)²:
    Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
  • y = x² + 2:
    Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
  • y = (x − 1)² + 3:
    Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Beispiel
Gib die Koordinaten des Scheitels an.
y
=
3
·
x
+
5
2
Wie bestimmt man das Maximum bzw. Minimum einer Parabelfunktion und wann tritt es auf?
#1117
  • Der Scheitelpunkt einer Parabel gibt an, wo die zugehörige Funktion ein Maximum/Minimum hat und wie groß dieses ist. Wenn xS die x-Koordinate und yS die y-Koordinate des Scheitels ist, so hat die Funktion an der Stelle xS das Maximum bzw. Minimum yS.
  • Bei einer nach oben geöffneten Parabel liegt ein Minimum, bei einer nach unten geöffneten Parabel ein Maximum vor.
Wie beeinflussen die Parameter a, xS und yS die Form und Lage einer Parabel mit der Gleichung y = a⋅(x - xS)² + yS?
#913
Durch die Gleichung y = a⋅(x - xS)² + yS (a≠0) ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten xS und yS gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung y = x²
  • nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
  • evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.
Beispiel
Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung
y
=
a
·
x
−
x
S
2
+
y
S
Bestimme a, 
x
S
 und 
y
S
.
graphik
Wie zeichnet man eine Parabel in Scheitelform ohne Wertetabelle?
#917
Um eine in Scheitelform gegebene Parabel mit der Gleichung y=a·(x−xS)²+yS ohne Wertetabelle zu zeichnen, geht man am besten vom Scheitel S aus nacheinander um 1, 2, 3 usw. Einheiten nach rechts und dabei um a·1², a·2², a·3² usw. Einheiten nach oben (a>0) oder unten (a<0). Somit erhält man den rechten Parabelast. Der linke ergibt sich durch Spiegelung.
Beispiel
Zeichne die Parabel mit der Gleichung  
y
=
1
2
 
x
−
3
2
+
1
  in ein Koordinatensystem. Benutze dabei weder den Taschenrechner noch eine schriftliche Wertetabelle.