4.9 Quadratische Gleichungen lösen, Matheübungen

- Lehrwerk Fundamente der Mathematik (5.-9. Klasse) - 22 Aufgaben in 4 Levels

Hilfe
  • Hilfe zum Zwischenschritt

    Mit welchem Faktor musst du beide Seiten multiplizieren, damit vor \(x^{2}\) nur noch der Faktor \(1\) steht?

  • Beispiel zum Level
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level
    Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn
    • x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
      → nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
    • keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
      → alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 7 in Level 1
  • Löse möglichst einfach, falls möglich.
  • Zwischenschritte aktiviert
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

    • \(\displaystyle -\frac{1}{3}x^{2}=-3\)

    \(\displaystyle x_1=\) ▉ Es gibt keine erste Lösung.
    \(\displaystyle x_2=\) ▉ Es gibt keine zweite Lösung.
    Schritt 1 von 3

    Umformung ergibt:

    \(\displaystyle x^{2}=\class{mathjax-input mathjax-input-1}{\mspace{3mu}\Rule{4.0em}{0.9em}{0.3em}\mspace{3mu}}\)

Beispiel
Hilfe
Notizen
Zeichen
Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
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Quadratische Gleichungen
Lernvideo

Quadratische Gleichungen

Kanal: Mathegym
Welche zwei Spezialfälle quadratischer Gleichungen ermöglichen eine Lösung ohne die allgemeine Lösungsformel und wie löst man diese?
#242
Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn
  • x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
    → nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
  • keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
    → alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
Beispiel
Löse jeweils so einfach wie möglich (ohne Lösungsformel):
1
    
−
2x
2
+
5
=
0
2
    
1
3
·
x
−
2
2
−
3
=
0
3
    
−
3x
2
+
2x
=
0
Was sind die rückwärts gerichteten binomischen Formeln und wie werden sie angewendet?
#266

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

  1. a² + 2ab + b² = (a + b)²
  2. a² − 2ab + b² = (a − b)²
  3. a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel
Löse durch Faktorisieren:
x
2
−
1
9
=
0
Wie kann eine quadratische Gleichung eine oder zwei Lösungen haben? Gib jeweils ein Beispiel und begründe dies.
#433
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.