Quadratwurzeln - Einführung, Heron-Verfahren, Matheübungen

Bestimmung einfacher Quadratwurzeln, Erkennen irrationaler Zahlen, annähernde Bestimmung mit dem Heron-Algorithmus, Vorzeichenbetrachtung bei Variablen unter der Wurzel - Lehrplan G9 (5.-13. Klasse) - 169 Aufgaben in 22 Levels

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    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Stoff zum Level

    Der Heron-Algorithmus ist ein Verfahren, mit dem sich √a, also die Wurzel von a für a∈Q+, mit zunehmender Genauigkeit bestimmen lässt.

    1. Man startet am besten mit einer Zahl x1, deren Quadrat in etwa a entspricht. Teilt man a durch diesen Startwert x1, so erhält man eine Zahl y1, die zusammen mit x1 das Intervall absteckt, in dem √a liegt.
    2. Man rechnet nun die Mitte dieses Intervalls aus, also ½·(x1+y1), und fährt mit diesem neuen Wert (= x2) in dem Algorithmus fort.
    Die dabei entstehenden Intervalle, die alle √a enthalten, werden immer kleiner und die Abschätzung somit immer ganauer.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 21
  • Führe den Heron-Algorithmus bis zum verlangten Schritt durch.
  • Zwischenschritte aktiviert
  • Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
    		•
    12
    =
    ?
    x
    1
    =
    4
    x
    2
    =
    		 ▉ 
    x
    3
    =
     ▉ 
    ,
     
    		 ▉ 
     
    		 ▉ 
     
     ▉ 
    …
    Nicht runden!
    Schritt 1 von 2
    Berechne nach Formel.
    x
    2
    		=
    ·
    +
    12
    		=
Beispiel
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Quadratwurzel

Kanal: Mathegym
Was bedeutet der Ausdruck a² in der Mathematik?
#712

a2 = a · a

Beispiel
Berechne:
5
2
=
?
80
2
=
?
0,3
2
=
?
−
4
2
=
?
Was ist die Definition von \( \sqrt{a} \), was ist der Radikand und welche Bedingungen muss dieser erfüllen?
#224
Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt, also

(√a)2 = a.

Die Zahl unter der Wurzel nennt man Radikand.

Laut dieser Definition gilt also: Weder der Radikand noch der Wert des Wurzelterms dürfen/können negativ sein!
Beispiel 1
16
=
▇
, denn 
▇
2
=
▇
.
Beispiel 2
0,0016
=
16
10000
=
4
100
2
=
4
100
=
0,04
Beispiel 3
3
6
25
=
81
25
=
9
5
2
=
9
5
Beispiel

Ordne die Zahlen der Größe nach, ohne den Taschenrechner zu verwenden. Beginne mit der kleinsten Zahl.

\(\displaystyle \sqrt{2};\quad 2;\quad -\sqrt{6};\quad \frac{3}{2};\quad -\frac{5}{2}\)

Was sind die Eigenschaften und Formeln für Mantelfläche, Oberfläche und Volumen eines Zylinders?
#663

Ein Zylinder ist ein Körper, der von zwei identischen Kreisen (als Grund- und Deckfläche) erzeugt wird. Bei einem geraden Zylinder liegen die beiden Kreisflächen im Abstand h (Höhe des Zylinders) senkrecht übereinander.

Die gekrümmte Seitenfläche des Zylinders bezeichnet man als Mantel. Abgerollt ist der Mantel ein Rechteck mit Länge = Umfang des Kreises und Breite = Höhe des Zylinders.

Ein Zylinder mit Radius r und Höhe h hat
  • die Mantelfläche M = 2r·π·h ("Umfang mal Höhe")
  • die Oberfläche O = 2r·π·h + 2·r²·π ("Mantel plus Boden und Deckel")
  • das Volumen V = r²·π·h ("Grundfläche mal Höhe")
Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt.
Die Quadratwurzel ziehen und quadrieren sind Operationen, die sich gegenseitig aufheben. Es gilt:
(√a)2 = a.
√a2=√(a ∙ a) = a
Beispiel
Berechne:
7
2
=
▇
7
2
=
▇
Wie kann man Wurzelausdrücke mit Minus-Vorzeichen berechnen?
#1302
Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt, also (√a)2 = a.
Beachte:
√(- a)²=a, denn √(- a)²=√(- a) ∙ (- a)=√a²=a ("Minus mal Minus ergibt Plus.")
-√a²= - a, denn -√a²= -1 ∙ √a²= - 1 ∙ a= - a
√- a hat für a > 0 keine Lösung, da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.
Beispiel
Berechne ohne Taschenrechner. Gib "!" ein, falls es keine Lösung gibt.
−
3
2
=
▇
−
9
=
▇
−
9
=
▇
Was sind reelle Zahlen und welche Zahlenarten gehören dazu?
#878
Zu den reellen Zahlen ℝ gehören alle rationalen Zahlen ℚ und alle irrationalen Zahlen.

Rationale Zahlen kann man als endlichen Bruch darstellen. Als Dezimalzahl haben sie keine, endlich viele Nachkommastellen oder die Nachkommastellen wiederholen sich periodisch.

Irrationale Zahlen kann man nicht als endlichen Bruch darstellen. Als Dezimalzahl haben sie unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht periodisch wiederholen.
Beispiel
Welche der reellen Zahlen sind rational, welche irrational?
3
3
5
2
0,1
6
2
 
≈
 
1,4142135...
Was sind die Zahlenmengen N, Z, Q und R und wie unterscheiden sie sich?
#627
Unterscheide folgende Zahlenmengen:
  • N = {1, 2, 3, ...}
    Menge der natürliche Zahlen
  • Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}
    Menge der ganze Zahlen; enthält über N hinaus auch noch 0 und die negativen (ganzen) Zahlen
  • Q = {p/q | p ∈ Z, q ∈ N}
    Menge der rationalen Zahlen; enthält über Z hinaus auch noch alle (nicht ganzzahligen) Brüche
  • R
    Menge der reellen Zahlen; enthält über Q hinaus auch noch alle irrationalen Zahlen wie z.B. √2 oder π
Wie funktioniert der Heron-Algorithmus zur Bestimmung von Quadratwurzeln?
#871

Der Heron-Algorithmus ist ein Verfahren, mit dem sich √a, also die Wurzel von a für a∈Q+, mit zunehmender Genauigkeit bestimmen lässt.

  1. Man startet am besten mit einer Zahl x1, deren Quadrat in etwa a entspricht. Teilt man a durch diesen Startwert x1, so erhält man eine Zahl y1, die zusammen mit x1 das Intervall absteckt, in dem √a liegt.
  2. Man rechnet nun die Mitte dieses Intervalls aus, also ½·(x1+y1), und fährt mit diesem neuen Wert (= x2) in dem Algorithmus fort.
Die dabei entstehenden Intervalle, die alle √a enthalten, werden immer kleiner und die Abschätzung somit immer ganauer.
Beispiel
Bestimme 
5
 auf drei Dezimalstellen genau.
Wie kann man \( \sqrt{a^2} \) vereinfachen, wenn a auch negativ sein könnte?
#229
Beachte beim Rechnen mit Variablen, dass (weil a auch negativ sein könnte)

√(a²) = | a |

Der Betragstrich ist nicht nötig, wenn a < 0 ausgeschlossen werden kann. Ist hingegen bekannt, dass a negativ ist, kann man statt des Betrags auch konkret schreiben

√(a²) = −a

Ob eine Variable unter der Wurzel positiv oder negativ ist, erschließt sich oft indirekt aus der Aufgabenstellung.

Beispiel
Gegeben ist der Term 
x
6
.
Welche Werte können für x eingesetzt werden und wie lautet der vereinfachte Term?