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Aufgabe

Aufgabe 1 von 4 in Level 11

Gegeben ist ein Rechteck (Skizze) mit den angegebenen Größen und der Fläche A. Berechne die gesuchten Größen. Verwende die ungerundeten Teilergebnisse (so exakt, wie der TR sie ausgibt) zum Weiterrechnen. Ergebnis(se) mit 2 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!
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Wie werden die Eckpunkte, Seiten und Winkel in einem Dreieck beschriftet?

#1512

Dreiecke werden wie folgt beschriftet:

Die Eckpunkte werden mit den Großbuchstaben \(A, B\) und \(C\) gegen den Uhrzeigersinn beschriftet
Die Seiten werden mit den Kleinbuchstaben \(a, b\) und \(c\) beschrifet, wobei die Seiten immer gegenüber der gleichnamigen Ecke liegen
Die Winkel werden mit \(\alpha, \beta\) und \(\gamma\) beschriftet

Wie bestimmt man die Entfernung von einem Punkt zu einer Geraden und die Lage von Punkten mit gleicher oder bestimmter Entfernung zu geometrischen Objekten?

#824

Die kürzeste Entfernung eines Punktes P zu …

… einem anderen Punkt Q misst man entlang der Strecke von P nach Q.
… einer Geraden g misst man entlang des Lots zu g durch P.

Punkte mit gleicher Entfernung zu …

… zwei Punkten A und B liegen auf der Mittelsenkrechten von A und B.
… zwei sich schneidenden Geraden g und h liegen auf den beiden Winkelhalbierenden von g und h.

Punkte mit einem bestimmten Abstand d zu …

… einem Punkt A liegen auf dem Kreis um A mit Radius d.
… einer Geraden g liegen auf den beiden Parallelen zu g im Abstand d.

Wie unterscheidet man zwischen Strecke, Gerade und Halbgerade und wie benennt und symbolisiert man diese?

#741

Durch zwei Punkte A und B führt eine Linie. Unterscheide zwischen

Strecke AB
Begrenzt durch Anfangs- und Endpunkt; ihre Länge wird durch |AB| ausgedrückt.
Halbgerade bzw. Strahl [AB
Begrenzt nur durch den Anfangspunkt A, ansonsten unendlich lang.
Gerade AB
Weder Anfangs- noch Endpunkt, also unendlich lang.

Beachte darüber hinaus folgende Schreibweisen:

Mit kleinen Buchstaben werden Strecken (ebenso Halbgeraden und Geraden), aber auch Streckenlängen bezeichnet.
A ∈ b drückt aus, dass der Punkt A auf der Gerade b liegt ("Element der Gerade").

Beispiel

Abgebildet sind

die Strecke a = AB mit der Länge a = |AB| = 2 cm,
die Halbgerade [CD sowie
die Gerade EF.

Wie hängen Scheitel- und Nebenwinkel in einer Figur mit zwei sich schneidenden Geraden zusammen?

#140

Schneiden sich zwei Geraden, so entstehen vier Winkel mit Scheitel im Schnittpunkt. Jeweils zwei gleichgroße Winkel liegen sich gegenüber - man nennt sie Scheitelwinkel. Zwei benachbarte Winkel hingegen nennt man Nebenwinkel - sie ergänzen sich zu 180°.

Wie misst man einen Winkel mit einem Geodreieck und bestimmt die korrekte Skala?

#467

Achte beim Anlegen des Geodreiecks darauf, dass

die Linealkante an einem der beiden Schenkel anliegt,
der Nullpunkt auf dem Scheitel ("Knickpunkt") des Winkels liegt und
der andere Schenkel durch die Winkelskala verläuft, um einen Wert ablesen zu können (etl. muss man ihn dazu verlängern).

Um von der richtigen Skala abzulesen, kannst du dich

entweder daran orientieren, ob der zu messende Winkel kleiner oder größer als 90° ist (also Augenmaß)
oder du nimmst die Skala, die beim ersten Schenkel (an den du die Linealkante anlegst) mit 0° beginnt.

Beispiel

Miss den Winkel.

Wo treten Stufen- und Wechselwinkel auf und wie werden sie beschrieben?

#139

Werden zwei parallele Geraden a und b von einer dritten Gerade c geschnitten, so ergeben sich zwei Schnittpunkte P und Q. Diese sind jeweils Scheitel von vier Winkeln. Ein Winkel mit Scheitel P und ein Winkel mit Scheitel Q heißen:

Stufenwinkel, wenn sie sich auf derselben Seite von c befinden und wenn sie bzgl. der Parallelen a und b ebenfalls auf derselben Seite liegen, wie z.B. hier:
Wechselwinkel, wenn sie bzgl. c und bzgl. der Parallelen a und b auf unterschiedlichen Seiten liegen, wie z.B. hier:

Stufenwinkel- und Wechselwinkelpaare sind jeweils gleich groß.

Wie berechnet man den fehlenden Innenwinkel in einem Dreieck, wenn zwei Winkel bekannt sind?

#134

Die Summe aller Innenwinkel im Dreieck beträgt 180°. Sind zwei Innenwinkel bekannt, berechnet man den dritten, indem man die angegebenen Winkel von 180° abzieht.

Was bedeutet es, wenn zwei Figuren als kongruent bezeichnet werden?

#183

Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie deckungsgleich sind. Praktisch betrachtet heißt das, man kann sie so übereinander legen, dass an keiner Stelle etwas überlappt.

Wie lautet der Satz des Pythagoras ohne Verwendung von Variablen?

#394

Nach dem Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck:

Hypotenuse² = erste Kathete² + zweite Kathete²

Zur Erinnerung: Die Hypotenuse ist diejenige der drei Seiten, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Sie ist damit auch immer die längste aller drei Seiten.

Wie lauten die Formeln für Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck?

#454

Sei α ein Winkel < 90° im rechtwinkligen Dreieck. Mit "Gegenkathete" sei die Kathete gemeint, die α gegenüberliegt, mit "Ankathete" diejenige, die an α anliegt. Dann gelten folgende Zusammenhänge:

sin(α)= Gegenkathete / Hypotenuse
cos(α)= Ankathete / Hypotenuse
tan(α)= Gegenkathete / Ankathete

Beispiel 1

Von einem rechtwinkligen Dreieck mit ∠C = 90° ist bekannt: a = 3 und β = 32°. Berechne die restlichen Seiten und Winkel.

Beispiel 2

In einem rechtwinkligen Dreieck mit rechtem Winkel bei C ist bekannt: b = 10, c = 11. Berechne β.

Wie lauten die Verhältnisgleichungen gemäß der Strahlensätze?

#890

Wenn zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten werden, spricht man von einer V-Figur, wenn sie wie folgt aussieht:

Es gelten die Strahlensätze (e und f parallel):

1. Strahlensatz
Abschnitte der beiden Strahlen werden zueinander in Beziehung gesetzt:
a : g = c : h
a : b = c : d

2. Strahlensatz
Seitenlängen des kleinen und des großen Dreiecks werden zueinander in Beziehung gesetzt:
a : g = e : f
c : h = e : f

Beispiel

Skizze (nicht maßstabsgetreu):

Berechne x.

Wie lauten die Verhältnisgleichungen gemäß der Strahlensätze bei einer X-Figur?

#891

Wenn zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten werden, spricht man von einer X-Figur, wenn sie wie folgt aussieht:

Es gelten die Strahlensätze (e und f parallel):

1. Strahlensatz
Abschnitte der beiden Strahlen werden zueinander in Beziehung gesetzt:
a : b = c : d
a : g = c : h

2. Strahlensatz
Abschnitte eines Strahls werden zu den parallelen Abschnitten in Beziehung gesetzt:
a : b = e : f
c : d = e : f

Wie beeinflusst die Spiegelung eines Punktes P auf dem Einheitskreis an der x-Achse, y-Achse oder am Ursprung die Sinus- und Kosinuswerte?

#334

Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.

Winkel	Spiegelung von P	Vorzeichenänderung	Formeln
−α bzw. 360° − α	an der x-Achse	nur sin	sin(α) = − sin(360° − α) cos(α) = cos(360° − α)
180° − α	an der y-Achse	nur cos	sin(α) = sin(180° − α) cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180°	am Ursprung	sin und cos	sin(α) = − sin(α ± 180°) cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360°	P verändert sich nicht		sin(α) = sin(α ± 360°) cos(α) = cos(α ± 360°)

Beispiel

Gib alle Lösungen im Intervall [0°;360°] an.

sin

0,7

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