Raumgeometrie - Anwendungen mit Pyramide und Kegel, Matheübungen

Innermathematische und sachbezogene Anwendungsaufgaben zu den räumlichen Körpern Prisma, Pyramide, Zylinder und Kegel (in Bezug auf Volumen, Oberfläche, Winkel und Streckenlängen) - Lehrplan G9 (5.-12. Klasse)

Hilfe
  • Mögliche Vorgehensweise:
    • Stelle Terme für das ursprüngliche und für das neue Volumen auf.
    • Bilde den Bruchterm: "neues Volumen" / "ursprüngliches Volumen".
    • Kürze den Bruchterm so weit wie möglich.
  • Volumenformeln im Überblick:
    • Quader und Prisma: V = G · h
    • Pyramide: V = ⅓ G · h
    • Zylinder: V = r² π · h
    • Kegel: V = ⅓ r² π · h

Welchen Anteil des ursprünglichen Köpervolumens besitzt der Teilkörper? Wähle den richtigen Anteil aus.

  • graphik
    Vom Zylinder geht man zum Kegel über,
    Radius und Höhe bleiben unverändert.
     
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Wie berechnet man die Volumina von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Kegeln?
#770
Volumenformeln im Überblick:
  • Quader und Prisma: V = G · h
  • Pyramide: V = ⅓ G · h
  • Zylinder: V = r² π · h
  • Kegel: V = ⅓ r² π · h
Wie berechnet man die Oberflächen von Prismen, Pyramiden, Zylindern und Kegeln und aus welchen Flächen setzen sie sich zusammen?
#771
Oberflächenformeln im Überblick (G: Grundfläche; M: Mantelfläche):
  • Gerades Prisma: O = 2·G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Rechtecken)
  • Pyramide: O = G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Dreiecken)
  • Zylinder: O = 2·G + M = 2 · r² π + 2 π r · h (G ist eine Kreisfläche, M eine Rechtecksfläche)
  • Kegel: O = G + M = r² π + r π m (G ist eine Kreisfläche, M die Fläche eines Kreissektors)
Welche Werkzeuge sind in der Raumgeometrie für den Umgang mit Strecken und Winkeln wichtig?
#772
Die wichtigsten Werkzeuge beim Umgang mit Strecken und Winkeln in der Raumgeometrie:

Im rechtwinkligen Dreieck mit (Gegen-)Kathete a und (An-)Kathete b und Hypotenuse c gilt:
  • Der Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
  • Trigonometrische Gleichungen: sin(α) = a/c, cos(α) = b/c, tan(α) = a/b

Auch der Strahlensatz kann in der Raumgeometrie oft weiterhelfen:

In der V-Figur sind folgende Verhältnisse gleich:

e : b = f : c = d : a (kleines Dreieck : großes Dreieck)

e : h = f : g (vorderer Abschnitt : hinterer Abschnitt)