Rechtwinklige Dreiecke - Pythagoras im Koordinatensystem und Raum, Matheübungen

Streckenlängen im Koordinatensystem und in Körpern berechnen, Betrag eines Vektors und Extremwertprobleme mit dem Pythagoras. - Lehrplan

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Verwende den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck der Skizze um einen Term für die Strecke c in Abhängigkeit von x aufzustellen.
  • Stelle einen Term in Abhängigkeit von x auf und forme ihn mithilfe der quadratischen Ergänzung so um, dass du den Extremwert bestimmen kannst.
  • Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
    1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
    2. Term in Abhängigkeit von x angeben
    3. Term umformen mithilfe der quadratischen Ergänzung.
    4. Extremwert und zugehöriges x ablesen.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme jeweils den Extremwert und den zugehörigen Wert für x.

  • Auf der Geraden 
    g:
     
    y
    =
    x
    +
    1
     liegen die Punkte 
    A
    n
     
    x
     
    |
     
    x
    +
    1
    , die mit B(1|4) die Strecken 
    A
    n
     
    B
     bilden. Für welchen Wert von 
    x
    min
     ist 
    c
    =
    A
    n
     
    B
     minimal? Wie lang ist dann 
    c
    min
    ?
    graphik
    x
    min
    =
    c
    min
    =
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
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keine Berechtigung
Wie berechnet man die Entfernung zwischen zwei Punkten in der Ebene?
#883

Die Entfernung zweier Punkte A und B erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck mit AB als Hypotenuse und den Kathetenlängen xB − xA und yB − yA (gemeint sind die x- und y-Koordinaten von A und B) betrachtet. Nach dem Satz des Pythagoras muss man die Quadrate beider Differenzen summieren und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen, um die Entfernung zwischen A und B zu erhalten.

Wie lautet der Satz des Pythagoras ohne Verwendung von Variablen?
#394
Nach dem Satz des Pythagoras gilt in jedem rechtwinkligen Dreieck:

Hypotenuse2 = erste Kathete2 + zweite Kathete2

Zur Erinnerung: Die Hypotenuse ist diejenige der drei Seiten, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Sie ist damit auch immer die längste aller drei Seiten.
Beispiel
P halbiert die obere Kante. Bestimme 
PQ
 in Abhängigkeit von a.
graphik
Wie löst man Extremwertaufgaben in vier Schritten?
#889
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
  1. Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
  2. Term in Abhängigkeit von x angeben
  3. Term umformen mithilfe der quadratischen Ergänzung.
  4. Extremwert und zugehöriges x ablesen.
Beispiel
Auf der Geraden 
g:
 
y
=
2x
−
1
 liegen die Punkte 
A
n
 
x
 
|
 
2x
−
1
 die mit B(0|4) die Strecken 
A
n
 
B
 bilden. Für welchen Wert von x ist 
c
=
A
n
 
B
 minimal? Wie lang ist dann 
c
min
?
Beispiel
Bestimme den Abstand des Punktes P(-5|3) von der Geraden y=3x-1 mit Hilfe von Pythagoras und quadratischer Ergänzung.