Sinus- und Kosinussatz - optional, Matheübungen

Berechnungen am allgemeinen Dreieck mit Hilfe des Sinus- und Kosinussatzes - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe
  • Liegt der gegebene Winkel der kleineren der gegebenen Seiten gegenüber, so gibt es zwei Lösungen. In diesem Fall ergänzen sich die beiden Lösungen zu 180°.
  • Gegeben ist ein Dreieck ABC, in dem die Winkel α, β und γ den Seiten a, b und c gegenüberliegen. Nach dem Sinussatz gilt:

    sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c

Die Aufgaben aus diesem Level gehen über den Lehrplan hinaus oder sind Zusatzaufgaben.

Berechne die fehlende Größe mit Hilfe des Sinussatzes. Vorsicht: Es können zwei Lösungen stimmen!

  • Skizze:
     
    		graphik
    Gesucht ist das Maß des Winkels β :
    β ≈
         
     
     
    25,69°
     
    154,31°
     
        
     
     
    36,77°
     
    143,23°
     
        
     
     
    41,28°
     
    138,72°
     
        
     
     
    43,47°
     
    136,53°
    Notizfeld
    Notizfeld
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keine Berechtigung
Was besagt der Sinussatz in der Trigonometrie?
#647
Gegeben ist ein Dreieck ABC, in dem die Winkel α, β und γ den Seiten a, b und c gegenüberliegen. Nach dem Sinussatz gilt:

sin(α)/a = sin(β)/b = sin(γ)/c

Beispiel
Das erste Beispiel in folgendem Video zeigt, wie man den Sinussatz anwendet.
Wie lautet der Kosinussatz und wie wird er angewendet?
#648
Gegeben ist ein Dreieck ABC, in dem die Winkel α, β und γ den Seiten a, b und c gegenüberliegen. Nach dem Kosinussatz gilt:

a² = b² + c² − 2bc · cos(α)

b² = a² + c² − 2ac · cos(β)

c² = a² + b² − 2ab · cos(γ)

Am besten, man merkt sich den Satz so:

"(beliebige) Seite zum Quadrat = Summe der anderen beiden Seitenquadrate minus 2 mal Produkt dieser Seiten mal cos vom Zwischenwinkel"

Beispiel
Das folgende Video zeigt anhand eines Beispiels, wie man den Kosinussatz anwendet.
Gemäß dem erweiterten Sinussatz gilt für die Fläche eines beliebigen Dreiecks:

A = 0,5 · a · b · sin(γ) = 0,5 · a · c · sin(β) = 0,5 · b · c · sin(α)

Man benötigt für die Flächenbestimmung also die Längen zweier (beliebiger) Seiten und deren Zwischenwinkel.