Stammfunktion und Integrale mit exp und sin, Matheübungen

Flächeninhalt und bestimmtes Integral - Lehrplan für 5.-13. Klasse - 30 Aufgaben in 6 Levels

Hilfe
  • Für diesen Aufgabentyp steht keine spezielle Hilfe zur Verfügung.
  • Gesamtstoff zum Thema
  • Aufgabenbereich und Bedienung

Aufgabe

Aufgabe 1 von 2 in Level 6
  • Bestimme k. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 2. Dezimalstelle gerundet eingeben!
  • Zwischenschritte aktiviert
    • f
     
    x
    =
    e
    1
    −
    x
    Betrachte das von 
    G
    f
     , der x-Achse und den Senkrechten 
    x
    =
    k
     und 
    x
    =
    3
     eingeschlossene Flächenstück. Wie groß muss k sein, damit das Teilstück rechts von der y-Achse halb so groß ist wie das Teilstück links von der y-Achse?
    k ≈  ▉ 
    Schritt 1 von 7
    Wie entsteht Gf aus dem Graphen der normalen e-Funktion?
    Zuerst Spiegelung an der , dann Verscheibung um 1 LE nach .
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich.
Stoff zum Thema (+Video)
Wie zeigt man, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist?
#1523

Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion:

Eine Funktion \(F\) heißt Stammfunktion von \(f\), wenn für alle \(x\) eines Intervalls \(I\) gilt: \(F'(x)=f(x).\)

Zusammenhang zwischen Funktion, Stammfunktion und Integral:

Für das Integral \(\displaystyle \displaystyle\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x\) gilt dann:

\(\displaystyle \displaystyle\int_a^bf(x)\;\mathrm{d}x=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a).\)

Was sind die Stammfunktionen von exp(x), sin(x) und cos(x) und was ist bei der Integration von f(ax+b) zu beachten?
#576
  • Stammfunktionen von sin, cos und exp:

∫ sin (x) dx = − cos (x) + C

∫ cos (x) dx = sin (x) + C

∫ ex dx = ex + C

  • Beachte aufgrund der Kettenregel (a ≠ 0):

∫ f ( ax + b ) dx

= 1/a · F ( ax + b) + C

Beispiel
Gib jeweils eine Stammfunktion an.
a) 
f
 
x
=
2e
4x
+
1
a) 
f
 
x
=
sin
 
0,5x
−
π
Wie findet man die Stammfunktion eines Bruchterms, wenn im Zähler die Ableitung des Nenners steht?
#571
Ist f(x) ein Bruchterm und steht im Zähler der Ableitungsterm des Nenners, so lässt sich folgende Stammfunktion angeben:

f(x) = g'(x)/g(x) ⇒ F(x) = ln|g(x)|

Beispiel
Bestimme, falls möglich, eine Stammfunktion:
a) 
f(x)
=
3
3x
+
1
b) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
2
+
2x
c) 
f(x)
=
3x
+
1
3x
3
−
x
Wie berechnet man die Stammfunktion einer Potenzfunktion?
#570
Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx = 1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Man geht also umgekehrt zum Ableiten vor: beim Ableiten wird zuerst mit n multipliziert, dann der Exponent n um 1 reduziert. Beim Bilden der Stammfunktion wird zuerst der Exponent n um 1 vergrößert, dann durch n+1 geteilt.

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx = ln |x| + C

Wie bestimmt man die Fläche zwischen zwei Graphen in einem Intervall, wenn deren Verlauf unbekannt ist?
#569
Um die Fläche zu ermitteln, die zwischen zwei Graphen Gf und Gg im Intervall I = [a;b] (d.h. nach links und rechts begrenzt durch die Vertikalen x = a und x = b) liegt, gehe wie folgt vor:
  1. Bilde die Differenz d = f − g und vereinfache den Term so weit wie möglich.
  2. Ermittle eine Stammfunktion D von d.
  3. Überprüfe, ob und wo sich beide Graphen im Intervall I schneiden. Kommst du mit dem Ansatz f(x) = g(x) rechnerisch nicht weiter, führt evtl. eine Skizze weiter (es reicht, wenn Schnittstellen durch die Skizze ausgeschlossen werden können!).
  4. Evtl. Schnittstellen, die im Intervall I liegen, unterteilen I in Teilintervalle. Integriere nun die Differenz d über die einzelnen Teilintervalle. Dabei kannst du immer auf dieselbe Stammfunktion D zurückgreifen.
  5. Addiere zum Schluss die BETRÄGE der einzelnen Integrale.