Stochastik - Erwartungswert, Varianz, Sigma-Regeln (Binomialverteilung), Matheübungen

Zusammenhang von n, p, μ und σ bei binomialverteilten Zufallsgrößen; Bestimmung von p aus dem Diagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung; Wahrscheinlichkeit dafür, dass X um höchstens σ, 2σ usw. vom Erwartungswert abweicht - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe

  • Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:

    • ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
    • ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
    • ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].

    Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:

    • 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
    • 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
    • 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].

    Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Bestimme das sichere Ergebnisintervall

  • Eine Münze wird 100-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Wappen".
    Gib ein Intervall an, in dem sicher 99% der Werte von X liegen.
     
    ≤ X ≤
     
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Welche Formeln gelten für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Trefferzahl X in einer Bernoulli-Kette?
#710

In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:

  • Erwartungswert μ(X) =n·p
  • Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)
Beispiel
Eine Münze wird 200-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Wappen".
Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert innerhalb der 2σ-Umgebung annimmt:
P
 
μ
−
2σ
 
≤
 
X
 
≤
 
μ
+
2σ
 
≈
 
?%
Was sind die Sigmaregeln und unter welcher Bedingung sind sie zuverlässig?
#706

Sigmaregeln zu gegebenen Umgebungen um den Erwartungswert:

  • ca. 68,3% der Werte von X liegen im Intervall [μ-σ;μ+σ].
  • ca. 95,5% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2σ;μ+2σ].
  • ca. 99,7% der Werte von X liegen im Intervall [μ-3σ;μ+3σ].

Sigmaregeln zu ganzzahligen Sicherheitswahrscheinlichkeiten:

  • 90% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,64σ;μ+1,64σ].
  • 95% der Werte von X liegen im Intervall [μ-1,96σ;μ+1,96σ].
  • 99% der Werte von X liegen im Intervall [μ-2,58σ;μ+2,58σ].

Wenn die Laplace-Bedingung σ > 3 erfüllt ist, erhält man mit den Sigmaregeln zuverlässige Werte.

Beispiel
Eine Münze wird 50-mal geworfen. Die Zufallsgröße X stehe für die Anzahl der geworfenen "Zahlen".
Gib ein Intervall an, in dem sicher 90% der Werte von X liegen.