Stochastik - Erwartungswert, Varianz und Sigma-Umgebungen (Binomialverteilung), Matheübungen

Anwendungen zu Erwartungswert, Varianz und Sigma-Umgebungen (Binomialverteilung) - Lehrplan - 31 Aufgaben in 7 Levels

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  • Hilfe speziell zu diesem Zwischenschritt
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 15
  • Hilfe zum Thema
    Zu jeder Zufallsgröße X kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben werden. Meistens wird diese als zweizeilige Tabelle dargestellt. In der ersten Zeile sind sämtliche Werte aufgelistet, die X annehmen kann, in der zweiten Zeile stehen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 6 in Level 5
  • Ergänze die Verteilungsfunktion von X. Gib die möglichen Werte von X aufsteigend sortiert an und Brüche in der Form a/b.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • Ein Würfel wird zweimal geworfen. 
    X:=Betrag der Differenz beider Augenzahlen
    x
    i
     ▉ 
     ▉ 
     ▉ 
     ▉ 
     ▉ 
     ▉ 
    aufsteigend!
    P
    X
    =
    x
    i
     ▉ 
     ▉ 
     ▉ 
     ▉ 
     ▉ 
     ▉ 
    Schritt 1 von 5
    Gib aufsteigend sortiert die möglichen Werte von X an.
    x
    i
    P
    X
    =
    x
    i
    ?
    ?
    ?
    ?
    ?
    ?
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Stoff zum Thema
Wie unterscheidet man bei binomialverteilten Zufallsgrößen und welche Experimente folgen keiner Binomialverteilung?
#1151

Bei binomialverteilten Zufallsgrößen (Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\)) ist zwischen nicht kumuliert (\(P(X=k)\)) und kumuliert (\(P(X\le k)\)) zu unterscheiden.

Berechnung mit dem GTR

Gegeben: Bernoulli-Kette der Länge \(n\) mit Trefferwahrscheinlichkeit \(p\).

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer:

\[ B_{n,p}(k)=P(X=k)=\operatorname{binompdf}(n,p,k) \]

Wahrscheinlichkeit für höchstens \(k\) Treffer:

\[ F_{n,p}(k)=P(X\le k)=\operatorname{binomcdf}(n,p,k) \]

Hinweis: Bei vielen Experimenten (z. B. Ziehen mehrerer Kugeln auf einmal oder hintereinander ohne Zurücklegen) liegt keine Bernoulli-Kette vor; dann gelten andere Modelle/Formeln (z. B. hypergeometrische Verteilung).

Beispiel
Aus einer Urne mit 10 Kugeln, von denen 4 weiß sind, werden 5 durch Zufall gezogen. Gib jeweils einen Term an für die Wahrscheinlichkeit…
a) dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
b) höchstens dreimal Weiß, wenn hintereinander mit Zurücklegen gezogen wird.
c) dreimal Weiß, wenn hintereinander ohne Zurücklegen gezogen wird.
d) dreimal Weiß, wenn alle 5 Kugeln auf einmal gezogen werden.
 
Welche Formeln gelten für den Erwartungswert und die Standardabweichung der Trefferzahl X in einer Bernoulli-Kette?
#710

In einer Bernoulli-Kette der Länge n und Treffer-Wahrscheinlichkeit p bezeichne die Zufallsgröße X die Trefferzahl. Dann gilt:

  • Erwartungswert μ(X) =n·p
  • Standardabweichung σ(X) = √ n·p·(1-p)
Was ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X?
#1214
Zu jeder Zufallsgröße X kann eine Wahrscheinlichkeitsverteilung angegeben werden. Meistens wird diese als zweizeilige Tabelle dargestellt. In der ersten Zeile sind sämtliche Werte aufgelistet, die X annehmen kann, in der zweiten Zeile stehen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.
Wann ist eine Zufallsgröße X binomialverteilt?
#1222
Eine Zufallsgröße X heißt binomialverteilt nach B(n;p), wenn X die Werte 0, 1, 2, ..., n (n natürliche Zahl) annimmt und wenn P(X=k)=(nk)·pk·(1−p)n−k gilt.

Zählt X die Anzahl der Treffer bei einem Bernoulli-Experiment, so ist X binomialverteilt.