Stochastik - Mittelwert, Erwartungswert, Standardabweichung, Matheübungen

Mittelwert und Standardabweichung einer Datenreihe, Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe

  • Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße X:

    Erwartungswert μ(X) (lies:"mü von X"):

    Der Erwartungswert beschreibt den Mittelwert der Zufallsgröße, sprich die Zahl, die die Zufallsgröße im Durchschnitt annimmt.

    Berechnung des Erwartungswertes:

    • Multipliziere jeden Wert xi von X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit P(X=xi)
    • Addiere alle so erhaltenen Werte.
    • Als Formel: μ(X)=x1· P(X=x1)+ x2· P(X=x2) + ... + xn· P(X=xn)

    Standardabweichung σ(X) (lies: "sigma von X")

    Die Standardabweichung einer Zufallsgröße X gibt grob gesagt an, wie stark die Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert gestreut ist.

    Berechnung der Standardabweichung:

    • Bestimme den Erwartungswert μ.
    • Subtrahiere den Erwartungswert von jedem Wert xi den die Zufallsgröße annehmen kann.
    • Quadriere jeweils die Ergebnisse.
    • Multipliziere die Ergebnisse mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
    • Addiere alle so erhaltenen Produkte.
    • Ziehe vom Ergebnis die Quadratwurzel.
    • Als Formel: σ(x) = √ Σ (xi − μ)2· P(X = xi)=√ [(x1 − μ)2· P(X = x1)+ (x2 − μ)2· P(X = x2) + ... + (xn − μ)2· P(X = xn)]

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Berechne Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsgröße. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung bei einem Glücksspiel.
    k
    −
    2
    −
    1
    10
    P
     
    X
    =
    k
    0,5
    0,2
    0,3
    μ
     
    X
    =
    σ
     
    X
     
    ≈
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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keine Berechtigung
Was bedeuten und wie berechnet man das arithmetische Mittel und die Standardabweichung einer Datenreihe?
#699

Mittelwert und Standardabweichung einer Datenreihe x1, x2, ..., xn:

Mittelwert (Arithmetisches Mittel) x:

  • Addiere alle Daten und dividiere durch die Anzahl der Daten.
  • x=1/n · (x1 + x2 + ... + xn)

Empirische Standardabweichung s:

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie sehr die Werte der Datenreihe um den Mittelwert schwanken.

Berechnung der Standardabweichung:

  • Bestimme den Mittelwert x.
  • Subtrahiere den Mittelwert von jedem Wert xi der Datenreihe.
  • Quadriere jeweils die Ergebnisse.
  • Addiere alle quadrierten Werte.
  • Dividiere dann durch die Anzahl n der Daten.
  • Ziehe vom Ergebnis die Quadratwurzel.
  • Als Formel: s = √{ 1/n·[ (x1 − x)2+ (x2 − x)2 + ... + (xn − x)2 ] }

Beispiel
Am Schuljahresende blickt Anton auf seine Ergebnisse der 6 Mathearbeiten zurück: 2     2     4     2     1     3
Berechne Mittelwert und Standardabweichung
Was beschreiben Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße und wie berechnet man sie?
#700

Erwartungswert und Standardabweichung einer Zufallsgröße X:

Erwartungswert μ(X) (lies:"mü von X"):

Der Erwartungswert beschreibt den Mittelwert der Zufallsgröße, sprich die Zahl, die die Zufallsgröße im Durchschnitt annimmt.

Berechnung des Erwartungswertes:

  • Multipliziere jeden Wert xi von X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit P(X=xi)
  • Addiere alle so erhaltenen Werte.
  • Als Formel: μ(X)=x1· P(X=x1)+ x2· P(X=x2) + ... + xn· P(X=xn)

Standardabweichung σ(X) (lies: "sigma von X")

Die Standardabweichung einer Zufallsgröße X gibt grob gesagt an, wie stark die Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert gestreut ist.

Berechnung der Standardabweichung:

  • Bestimme den Erwartungswert μ.
  • Subtrahiere den Erwartungswert von jedem Wert xi den die Zufallsgröße annehmen kann.
  • Quadriere jeweils die Ergebnisse.
  • Multipliziere die Ergebnisse mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit.
  • Addiere alle so erhaltenen Produkte.
  • Ziehe vom Ergebnis die Quadratwurzel.
  • Als Formel: σ(x) = √ Σ (xi − μ)2· P(X = xi)=√ [(x1 − μ)2· P(X = x1)+ (x2 − μ)2· P(X = x2) + ... + (xn − μ)2· P(X = xn)]

Beispiel
Paul hat sich ein Glücksspiel überlegt: Es wird mit einem Würfel gewürfelt. Beim Würfeln einer Quadratzahl erhält der Spieler 5 Euro, ansonsten muss der Spieler 2 Euro zahlen. Lässt du dich auf das Spiel ein? Berechne Erwartungswert und Standardabweichung und interpretiere.
μ
 
X
=
?
σ
 
X
=
?