Stochastische Prozesse I - Prozessdiagramm und Übergangsmatrix, Matheübungen

Darstellung mit Prozessdiagramm und Übergangsmatrix, Rechnen mit Prozessdiagrammen, stochastische Matrix erkennnen - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe

  • Stochastische Prozesse

    Zufallsvorgänge mit endlich vielen Zuständen lassen sich grafisch durch Prozessdiagramme darstellen.

    • Ein Endzustand heißt absorbierend und wird am Ringpfeil mit der Übergangswahrscheinlichkeit 100% =1 erkannt.
    • Alle anderen Zustände sind innere Zustände. Bei diesen ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller abgehenden Pfeile gleich 1 (sofern im Diagramm ALLE möglichen Zustände berücksichtigt werden).

    Die Zustandsverteilung fasst zusammen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die verschiedenen Zustände zu einem bestimmten Zeitpunkt besetzt sind.

    Der stochastische Prozess umfasst die Folge der Zustandsverteilungen eines Prozessdiagramms.

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Berechne die nötige Zustandsverteilung, um die gefragten Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

  • Manche Wetterprognosen benutzen folgende Annahme: auf einen Sonnentag (S) folgt mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% erneut ein Sonnentag. Auf einen Wolkentag (W) folgt mit 70% Wahrscheinlichkeit wieder ein Wolkentag. Dies ist im Prozessdiagramm gegeben:
    graphik
    Heute ist ein Sonnentag.
    Wahrscheinlichkeit für einen weiteren Sonnentag morgen:
     
     
    %
    Wahrscheinlichkeit für einen Wolkentag morgen:
     
     
    %
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keine Berechtigung
Was ist ein Prozessdiagramm und wie wird es verwendet?
#714

Stochastische Prozesse

Zufallsvorgänge mit endlich vielen Zuständen lassen sich grafisch durch Prozessdiagramme darstellen.

  • Ein Endzustand heißt absorbierend und wird am Ringpfeil mit der Übergangswahrscheinlichkeit 100% =1 erkannt.
  • Alle anderen Zustände sind innere Zustände. Bei diesen ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller abgehenden Pfeile gleich 1 (sofern im Diagramm ALLE möglichen Zustände berücksichtigt werden).

Die Zustandsverteilung fasst zusammen, mit welchen Wahrscheinlichkeiten die verschiedenen Zustände zu einem bestimmten Zeitpunkt besetzt sind.

Der stochastische Prozess umfasst die Folge der Zustandsverteilungen eines Prozessdiagramms.

Beispiel 1
Zur Vorbereitung auf das Abitur gibt es Aufgaben in den Schwierigkeitsstufen 1 (leicht) bis 3 (schwer). Ein Schüler startet mit den einfachsten Aufgaben und übt, bis er Level 3 erreicht hat. Den Übergang von Level 1 nach Level 2 schafft er mit 70% Wahrscheinlichkeit, den Übergang von Level 2 nach Level 3 mit 35% Wahrscheinlichkeit. Erstelle ein Prozessdiagramm.
Beispiel 2
Zur Vorbereitung auf das Abitur gibt es Aufgaben in den Schwierigkeitsstufen 1 (leicht) bis 3 (schwer). Alle Schüler starten mit den einfachsten Aufgaben und üben, bis sie Level 3 erreicht haben. Den Übergang von Level 1 nach Level 2 schaffen sie durchschnittlich mit 70% Wahrscheinlichkeit, den Übergang von Level 2 nach Level 3 mit 35% Wahrscheinlichkeit. Bestimme die Zustandsverteilung nachdem drei Aufgaben geübt wurden.
Was sind stochastische Matrizen und wie werden sie verwendet?
#718

Stochastische Matrizen

Stochastische Prozesse lassen sich sehr übersichtlich in Matrix-Schreibweise darstellen. Dazu werden die Zustandsverteilungen zu Vektoren zusammengefasst. Die Übergangswahrscheinlichkeiten finden sich in den Koeffizienten der Berechnungsvorschriften wieder und können übersichtlich in der Übergangsmatrix U dargestellt werden.

Die Zustandsverteilung nach Schritt k+1 kann mittels einer Matrix-Multiplikation aus der Übergangsmatrix U und der Zustandsverteilung nach Schritt k berechnet werden.

Eine Übergangsmatrix U zu einem vollständigen Prozessdiagramm nennt man auch stochastische Matrix und sie erfüllt folgende Eigenschaften:

  • U ist quadratisch (gleich viele Zeilen wie Spalten).
  • In der m-ten Spalte stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man VOM m-ten Zustand aus die übrigen Zustände erreicht.
  • In der n-ten Zeile stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man ZUM n-ten Zustand gelangt.
  • Summe der Spalteneinträge von U ist 1.

Werden im Prozessdiagramm NICHT ALLE möglichen Zustände berücksichtigt, so wird die Übergangsmatrix zum beschriebenen stochastischen Prozess auch keine stochastische Matrix sein.

Beispiel
Das folgende Prozessdiagramm beschreibt einen stochastischen Prozess:
graphik
Stelle diesen Prozess mit Hilfe einer Übergangsmatrix dar.