Stochastische Prozesse II - Rechnen mit Übergangsmatrix (ohne GTR), Matheübungen

Multiplikations von Matrix mit Vektor, Einträge der Übergangsmatrix interpretieren, Zustandsverteilung der Vergangenheit berechnen - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe

  • Stochastische Matrizen

    Stochastische Prozesse lassen sich sehr übersichtlich in Matrix-Schreibweise darstellen. Dazu werden die Zustandsverteilungen zu Vektoren zusammengefasst. Die Übergangswahrscheinlichkeiten finden sich in den Koeffizienten der Berechnungsvorschriften wieder und können übersichtlich in der Übergangsmatrix U dargestellt werden.

    Die Zustandsverteilung nach Schritt k+1 kann mittels einer Matrix-Multiplikation aus der Übergangsmatrix U und der Zustandsverteilung nach Schritt k berechnet werden.

    Eine Übergangsmatrix U zu einem vollständigen Prozessdiagramm nennt man auch stochastische Matrix und sie erfüllt folgende Eigenschaften:

    • U ist quadratisch (gleich viele Zeilen wie Spalten).
    • In der m-ten Spalte stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man VOM m-ten Zustand aus die übrigen Zustände erreicht.
    • In der n-ten Zeile stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man ZUM n-ten Zustand gelangt.
    • Summe der Spalteneinträge von U ist 1.

    Werden im Prozessdiagramm NICHT ALLE möglichen Zustände berücksichtigt, so wird die Übergangsmatrix zum beschriebenen stochastischen Prozess auch keine stochastische Matrix sein.

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Kreuze alle richtigen Aussagen an.

  • Drei Mineralwasserfirmen Aquafit (A), Belaqua (B) und Classica (C) teilen die Marktanteile der Mineralwasserkunden unter sich auf. Immer wieder kommt es zu Marktverschiebungen. Diese sind durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
    U
    =
    0,5
    0,5
    0
     
     
     
     
    0
    1
    0
     
     
     
     
     
    0,2
    0,7
    0,1
    mit:
     
    a
    k
    +
    1
    b
    k
    +
    1
    c
    k
    +
    1
    =
    U
    ·
    a
    k
    b
    k
    c
    k
    In jeder Zeile ist genau eine Aussage richtig. Kreuze diese an:
    Wer kann alle Kunden bei sich halten?
     
    Aquafit
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    Belaqua
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    Classica
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    keiner
    Aquafit bekommt Neukunden:
     
    nur von B
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    von B und C
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    nur von C
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    von keinem
    Classica bekommt Neukunden:
     
    nur von A
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    von A und B
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    nur von B
     
     
     
     
     
     
     
     
     
    von keinem
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Was sind stochastische Matrizen und wie werden sie verwendet?
#718

Stochastische Matrizen

Stochastische Prozesse lassen sich sehr übersichtlich in Matrix-Schreibweise darstellen. Dazu werden die Zustandsverteilungen zu Vektoren zusammengefasst. Die Übergangswahrscheinlichkeiten finden sich in den Koeffizienten der Berechnungsvorschriften wieder und können übersichtlich in der Übergangsmatrix U dargestellt werden.

Die Zustandsverteilung nach Schritt k+1 kann mittels einer Matrix-Multiplikation aus der Übergangsmatrix U und der Zustandsverteilung nach Schritt k berechnet werden.

Eine Übergangsmatrix U zu einem vollständigen Prozessdiagramm nennt man auch stochastische Matrix und sie erfüllt folgende Eigenschaften:

  • U ist quadratisch (gleich viele Zeilen wie Spalten).
  • In der m-ten Spalte stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man VOM m-ten Zustand aus die übrigen Zustände erreicht.
  • In der n-ten Zeile stehen die Übergangswahrscheinlichkeiten, mit denen man ZUM n-ten Zustand gelangt.
  • Summe der Spalteneinträge von U ist 1.

Werden im Prozessdiagramm NICHT ALLE möglichen Zustände berücksichtigt, so wird die Übergangsmatrix zum beschriebenen stochastischen Prozess auch keine stochastische Matrix sein.

Beispiel 1
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,3
0,7
0
 
 
 
0
0,65
0,35
 
 
 
0
0
1
v
k
 
sei die Zustandsverteilung nach k Schritten.
Startzustand: alle in Zustand 1
Bestimme die Zustandsverteilung nach 2 Schritten.
Beispiel 2
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen A, B und C ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,3
0,7
0
 
 
 
0,2
0,65
0,15
 
 
 
0
0
1
mit:
 
a
k
+
1
b
k
+
1
c
k
+
1
=
U
·
a
k
b
k
c
k
Interpretiere die Matrixeinträge in der Form:
? % BLEIBEN im Zustand ?.
bzw. ? % wechseln VON Zustand ? ZU Zustand ?
Beispiel 3
Ein stochastischer Prozess zwischen drei Zuständen ist durch folgende Übergangsmatrix gegeben:
U
=
0,3
0,7
0
 
 
 
0
0,65
0,35
 
 
 
0
0
1
v
k
 
sei die Zustandsverteilung nach k Schritten.
Ist-Zustand: 15% in Zustand A, 48% in Zustand B, 37% in Zustand C
Bestimme die Zustandsverteilung einen Schritt vorher.