Stochastische Simulationen, Matheübungen

Verständnisfragen zur Monte-Carlo-Methode, Bestimmung von Flächen mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode - 23 Aufgaben in 5 Levels

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    Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperiments

    Hast du ein Zufallsexperiment viele Male durchgeführt und die jeweiligen Ergebnisse notiert, so kannst du die relativen Häufigkeiten der Einzelergebnisse ermitteln. Sie stellen dann nur deine Versuchsergebnisse dar. Führst du das Zufallsexperiment erneut viele Male durch, werden die Werte für die relativen Häufigkeiten anders aussehen. Das ist ganz normal.

    Empirisches Gesetz der großen Zahlen:
    Führt man ein Zufallsexperiment allerdings sehr viele Male durch, dann werden sich die relativen Häufigkeiten an gewisse Werte annähern, die man dann als Schätzwert für die (theoretische) Wahrscheinlichkeit des Zufallsexperiment ansehen kann.
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Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 2
  • Bestimme aus der Simulation des beschriebenen Zufallsexperiments zunächst einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses. Berechne diese anschließend exakt. Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.

    • Eine Münze wird dreimal geworfen. Untersucht wird das Ereignis \(E\): "Höchstens 2-mal Zahl".

    Schritt 1 von 3

    Das Zufallsexperiment wurde 15-mal durchgeführt. Die Ergebnisse der einzelnen Versuche sind in nachfolgender Tabelle angegeben. Bestimme damit einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses \(E\). Runde auf zwei Nachkommastellen.

    \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Versuch} & \text{Ergebnis} \\ \hline 1 & ZKZ \\ \hline 2 & KZZ \\ \hline 3 & ZZK \\ \hline 4 & KKZ \\ \hline 5 & KZK \\ \hline 6 & ZKZ \\ \hline 7 & ZZZ \\ \hline 8 & KKZ \\ \hline 9 & ZZK \\ \hline 10 & KKZ \\ \hline 11 & ZZK \\ \hline 12 & ZZK \\ \hline 13 & ZKK \\ \hline 14 & KZK \\ \hline 15 & ZKZ \\ \hline \end{array}
    \( p \approx \; \)
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Stoff zum Thema (+Video)
Wie funktioniert die Monte-Carlo-Methode zur Abschätzung von Flächeninhalten?
#955
Mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode lassen sich Flächeninhalte, für deren Berechnung man keine Formel hat bzw. kennt, ziemlich genau abschätzen. Man erzeugt hierbei sehr viele Zufallspunkte innerhalb eines berechenbaren Flächenstücks, das die gesuchte Fläche enthält. Der Anteil der Zufallspunkte, die auf das gesuchte Flächenstück fallen, ermöglicht eine Abschätzung von dessen Inhalt.
Beispiel
Bestimme mit Hilfe der Monte-Carlo-Methode eine Annäherung an die Kreiszahl π.
Was sind relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit in einem Zufallsexperiment?
#830

Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperiments

Hast du ein Zufallsexperiment viele Male durchgeführt und die jeweiligen Ergebnisse notiert, so kannst du die relativen Häufigkeiten der Einzelergebnisse ermitteln. Sie stellen dann nur deine Versuchsergebnisse dar. Führst du das Zufallsexperiment erneut viele Male durch, werden die Werte für die relativen Häufigkeiten anders aussehen. Das ist ganz normal.

Empirisches Gesetz der großen Zahlen:
Führt man ein Zufallsexperiment allerdings sehr viele Male durch, dann werden sich die relativen Häufigkeiten an gewisse Werte annähern, die man dann als Schätzwert für die (theoretische) Wahrscheinlichkeit des Zufallsexperiment ansehen kann.

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