Strahlensatz/Ähnlichkeit, Matheübungen

Berechnungen an der X- und V-Figur, Nachweis von Ähnlichkeit mit Hilfe der Ähnlichkeitssätze - Lehrplan für 12. Klasse

Hilfe
  • Zwei Dreiecke können unterschiedlich groß sein und doch ähnlich aussehen, weil sie dieselben Proportionen (Seitenverhältnisse) haben.

    Ähnlich sind zwei Dreiecke dann, wenn sie ... übereinstimmen.

    • im Längenverhältnis sich entsprechender Seiten (S:S:S-Satz)
    • in zwei Winkeln (W:W-Satz)
    • in einem Winkel und dem Längenverhältnis der anliegenden Seiten (S:W:S-Satz)
    • im Längenverhältnis zweier sich entsprechender Seiten und dem Winkel gegenüber der längeren Seite (S:s:W-Satz)
    Der Satz gilt auch in umgekehrter Richtung, d.h. in zueinander ähnlichen Dreiecken trifft jede der aufgeführten Übereinstimmungen zu.

Berechne mit Hilfe ähnlicher Dreiecke und gib als Bruch an.

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Was sind die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke?
#708
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.

  • Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
  • Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.
Beispiel
Die beiden Figuren sind ähnlich. Berechne die fehlenden Seitenlängen und gib die fehlenden Winkel an (Abbildungen nicht maßstabsgetreu).
graphik
a
=
?
β
=
?
γ
=
?
b'
=
?
α
 
'
=
?
β
 
'
=
?
Wie lauten die Verhältnisgleichungen gemäß der Strahlensätze?
#890
Wenn zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten werden, spricht man von einer V-Figur, wenn sie wie folgt aussieht:

Es gelten die Strahlensätze (e und f parallel):

1. Strahlensatz
Abschnitte der beiden Strahlen werden zueinander in Beziehung gesetzt:
a : g = c : h
a : b = c : d

2. Strahlensatz
Seitenlängen des kleinen und des großen Dreiecks werden zueinander in Beziehung gesetzt:
a : g = e : f
c : h = e : f

Beispiel 1
Skizze (nicht maßstabsgetreu):
graphik
Berechne x.
Beispiel 2
Skizze (nicht maßstabsgetreu):
graphik
Berechne x.
Wie lauten die Verhältnisgleichungen gemäß der Strahlensätze bei einer X-Figur?
#891
Wenn zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten werden, spricht man von einer X-Figur, wenn sie wie folgt aussieht:

Es gelten die Strahlensätze (e und f parallel):

1. Strahlensatz
Abschnitte der beiden Strahlen werden zueinander in Beziehung gesetzt:
a : b = c : d
a : g = c : h

2. Strahlensatz
Abschnitte eines Strahls werden zu den parallelen Abschnitten in Beziehung gesetzt:
a : b = e : f
c : d = e : f

Wie kann man überprüfen, ob zwei Geraden e und f in einer V-Figur parallel sind?
#440
Umkehrung des ersten Strahlensatzes: Um in einer "V-Figur" zu überprüfen, ob die vermeintlich parallelen Geraden wirklich parallel sind, bestimmt man bei beiden Strahlen das Verhältnis "vorderer Abschnitt" : "hinterer Abschnitt". Ist das Verhältnis gleich, so liegt Parallelität vor.

Vorsicht: sobald du die Längen der vermeintlich parallelen Strecken bei der Prüfung miteinbeziehst, kannst du nicht sicher auf Parallelität schließen (d.h. der zweite Strahlensatz ist nicht umkehrbar). Selbst wenn die Verhältnisse gleich sind, müssen also weitere Überlegungen angestellt werden.

Beispiel
Prüfe die Geraden AD, BC und FG paarweise auf Parallelität
graphik
Was sind die Erkennungsmerkmale ähnlicher Dreiecke?
#439
Zwei Dreiecke können unterschiedlich groß sein und doch ähnlich aussehen, weil sie dieselben Proportionen (Seitenverhältnisse) haben.

Ähnlich sind zwei Dreiecke dann, wenn sie ... übereinstimmen.

  • im Längenverhältnis sich entsprechender Seiten (S:S:S-Satz)
  • in zwei Winkeln (W:W-Satz)
  • in einem Winkel und dem Längenverhältnis der anliegenden Seiten (S:W:S-Satz)
  • im Längenverhältnis zweier sich entsprechender Seiten und dem Winkel gegenüber der längeren Seite (S:s:W-Satz)
Der Satz gilt auch in umgekehrter Richtung, d.h. in zueinander ähnlichen Dreiecken trifft jede der aufgeführten Übereinstimmungen zu.