Terme - Ausklammern, Matheübungen

Verwandeln einer Summe in ein Produkt durch Finden und Ausklammern von gemeinsamen Faktoren. - Lehrplan für 8.-9. Jgst - 137 Aufgaben in 28 Levels

Access Denied.
Bitte erst einloggen, um zu der Übung zu gelangen.
Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Punkt vor Strich, darum Klammer setzen!
  • Beispiel
    Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe:
  • Hilfe zum Thema
    Beim Multiplizieren zweier Summen muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden (ergibt sich aus dem Distributivgesetz):

    (a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

  • Weitere Hilfethemen

Aufgabe

Aufgabe 1 von 5 in Level 8
  • Vereinfache. Variablenpotenzen sind in der Form "a^n" anzugeben.
  • Zwischenschritte aktiviert
    • \(\displaystyle 5a + (2a-b)\cdot(3a+2-5b) =\; \)
     ▉ 
    Schritt 1 von 4

    Was ist der erste Rechenschritt?

    \(5a+2a=\;\)
    \(5a+3a=\;\)
    \(5a \cdot 3a=\;\)
    \(2a \cdot 3a=\;\)
Beispiel
Beispiel-Aufgabe
Hilfe
Hilfe
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Lösung
  • Achtung
    Du hast noch keinen eigenen Lösungsversuch gestartet. Sobald du auf »Lösung anzeigen« klickst, gilt der Zwischenschritt als nicht gelöst und die Bewertung deiner Leistung für diese Aufgabe verschlechtert sich. Tipp: Schau dir vor dem Anzeigen der Lösung die Beispiel-Aufgabe zu diesem Aufgabentyp an.
Stoff zum Thema (+Video)
Was besagt das Distributivgesetz in der Mathematik?
#119
Distributivgesetz:

a · (b + c ) = a · b + a · c    ("Klammer ausmultiplizieren")

(a + b ) : c = a : c + b : c

Statt + kann man auch − einsetzen, d.h. das Distributivgesetz gilt für Summen wie auch für Differenzen, die mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert werden.

Beispiel 1
Multipliziere aus und gib gekürzt an:
2
9
·
3
5
−
6c
=
?
Beispiel 2
Multipliziere aus und gib gekürzt an:
−
1
3
·
−
2a
+
−
12b
+
3c
=
?
Beispiel 3
Multipliziere aus und gib gekürzt an:
5
3
 
ab
−
1
3
 
a
2
−
3b
·
−
6
5
=
?
Wie löst man zwei eingeklammerte Terme auf, die jeweils nur Plusrechnungen enthalten und miteinander multipliziert werden?
#123
Beim Multiplizieren zweier Summen muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden (ergibt sich aus dem Distributivgesetz):

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

Beispiel 1
Multipliziere aus und vereinfache:
2
5
 
uv
−
2
3
·
15u
2
+
1
−
uv
Beispiel 2
Vereinfache.
7x
−
3x
−
y
·
9y
+
x
−
1
Beispiel 3
Multipliziere aus und vereinfache so weit wie möglich! \[2x(3-2x)(3x+3)\]
Beispiel 4
Multipliziere die Klammern aus und vereinfache. \[ (a^2 - x)(2a + 5)(x - 3) \]
Beispiel 5
b
−
2
3
 
b
·
6a
·
a
−
30%
+
1
2
 
a
2
·
b
−
4ab
−
ab
2
Wie löst man Klammern der Art a*(...) korrekt auf?
#1402
Achte beim Auflösen von Klammern der Art a⋅(...) oder (...)⋅(...) darauf, ob in der Klammer eine Summe oder ein Produkt steht. Nur bei einer Summe wird jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert (D-Gesetz).
Beispiel 1
Unterscheide:
−
2x
·
3x
+
5y
−
2x
·
3x
·
5y
Beispiel 2
Vereinfache:
3a
 
b
3
·
4a
:
2b
2
−
a
+
5
 
ab
2
−
3b
+
35%
·
b
Wie bestimmt man die Anzahl der Summanden und die höchsten Potenzen der Variablen nach dem Ausmultiplizieren von Produkten mehrerer Summen von x-Potenzen?
#426
Die Anzahl der Summanden, die sich nach dem Ausmultiplizieren mehrerer Summen ergibt, lässt sich ebenso leicht bestimmen wie die höchsten Variablenpotenzen:
  • Anzahl der Summanden: Nimm von jeder Klammer die Anzahl der Summanden und bilde das Produkt.
  • Höchste Potenz einer Variable: Nimm aus jeder Klammer die höchste Potenz dieser Variable und multipliziere diese Potenzen.
Beispiel
Wie viele Summanden ergeben sich nach dem Ausmultiplizieren und welche höchsten Variablenpotenzen?
x
+
2
−
y
2
·
2y
5
−
x
−
5x
2
+
1
3
·
x
+
1
·
y
3
Was bedeutet Ausklammern und wie funktioniert es?
#122
Enthält jeder einzelne Summand einer Summe denselben Faktor, so kann man diesen ausklammern, also als Faktor vor die Summenklammer schreiben (Distributivgesetz "rückwärts"):

a · b + a · c = a · (b + c)

(Ebenso mit − statt +)

Beispiel 1
110
−
z
·
44
=
22
·
5
−
22
·
2z
=
22
·
5
−
2z
Beispiel 2
Klammere so aus, dass in der Klammer betragsmäßig möglichst kleine ganze Zahlen stehen:
8
9
 
z
+
4
2
3
Beispiel 3
Gib größtmögliche Zahlen/Potenzen an, die ausgeklammert werden können:
−
18
 
x
2
y
3
z
+
54
 
x
 
y
2
z
+
27
 
x
4
y
5
Beispiel 4
Klammere so viele Faktoren wie möglich aus:
14a
2
b
3
−
21ab
2
+
42ab
3
Wie kann man komplexe Terme vereinfachen?
#421
Bei komplexeren Termen hilft meist die folgende Strategie weiter:
  1. Klammern auflösen/ausmultiplizieren
  2. gleichartige Terme durch Addieren/Subtrahieren zusammenfassen
Beispiel
Vereinfache:
3
−
2
9
 
v
−
2
3
−
1
3
·
6
−
v
·
2
Was ist der Unterschied zwischen dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz?
#425
Unterscheide zwischen
  • a · (b · c) = a · b · c   (A-Gesetz)
  • a · (b + c) = a · b + a · c   (D-Gesetz)
Beispiel
Vereinfache:
12,5%
·
s
:
5
−
4
+
1,8s
·
1
1
2
 
s
+
t
2
−
3t
·
s
:
6
·
2t
Wie addiert oder subtrahiert man gleichartige Terme und gib Beispiele an.
#420
Gleichartige Terme wie z.B. 3x und -7x oder ab und 0,5ab werden addiert/subtrahiert, indem man ihre Vorzahlen addiert/subtrahiert und die (in beiden Termen vorkommenden) Variablen beibehält.
Beispiel
Überprüfe auf Äquivalenz:
z
:
7
−
z
+
7
·
z
+
z
·
2
 
      und      
 
9z
−
6
14
·
z
·
2
Wie löst man eine Klammer auf, wenn davor ein Plus- oder Minuszeichen steht?
#110
Regel für das Auflösen von Klammern:
  • Steht vor der Klammer ein Plus, so bleiben die Vorzeichen in der Klammer unverändert.
  • Steht vor der Klammer ein Minus, so drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um.
Beispiel
Vereinfache:
1
−
s
:
4
·
5
−
−
3s
·
1
2
−
2