Terme - Produkte, Potenzen, Matheübungen

Termumformungen mit Produkten und Potenzen - Lehrplan für 8.-9. Jgst - 122 Aufgaben in 24 Levels

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Aufgabe

Aufgabe 1 von 3 in Level 24
  • Vereinfache. Gib die gefragten Brüche gekürzt an.
  • Zwischen­schritte aktivieren
    • 3
    2
    ·
    1
    6
     
    x
    −
    15%
    ·
    2
    1
    5
     
    y
    −
    6xy
    −
    y
    4
    :
    3
    −
    3
     
    y
    3
    :
    2
     
    y
    3
    =
     
    x
    2
    y
    +
     
    xy
    +
     
    y
    +
  • keine Berechtigung
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Stoff zum Thema (+Video)
Terme mit Variablen - Grundrechenarten
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Terme mit Variablen - Grundrechenarten

Kanal: Mathegym
Was sind gleichartige Terme in der Mathematik?
#115
Zwei Produkte, in denen dieselben Variablen in derselben Potenz auftreten, heißen gleichartig.

Nur gleichartige Produkte können durch Addition und Subtraktion zusammengefasst werden. Dabei werden die zugehörigen Zahlen addiert/subtrahiert ("Äpfel mit Äpfeln und Birnen mit Birnen").

Beispiel
Welche der unten aufgeführten Terme sind jeweils gleichartig?
  • 3a
  • x·5xy
  • a·0,7
  • 3x²+y
  • ab
  • -3x²y
Wie kann ein Term wie a · a³ : a² vereinfacht geschrieben werden?
#117
Ein Produkt von Variablen(potenzen) mit derselben Variablen lässt sich zu einer Potenz zusammenfassen.
Beispiel 1
Fasse zusammen:
a
·
a
2
·
a
3
3
=
▇
Beispiel 2
Fasse zusammen:
x
2
y
3
·
x
3
·
y
2
Beispiel 3
Schreibe als Summe von Variablenpotenzen mit passendem Vorfaktor:
5
·
x
·
x
·
x
−
y
=
?
3
·
c
−
a
·
a
·
a
·
a
·
a
+
b
·
b
:
2
=
?
Was besagt das Distributivgesetz in der Mathematik?
#119
Distributivgesetz:

a · (b + c ) = a · b + a · c    ("Klammer ausmultiplizieren")

(a + b ) : c = a : c + b : c

Statt + kann man auch − einsetzen, d.h. das Distributivgesetz gilt für Summen wie auch für Differenzen, die mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert werden.

Beispiel 1
Multipliziere aus und gib gekürzt an:
2
9
·
3
5
−
6c
=
?
Beispiel 2
Multipliziere aus und gib gekürzt an:
−
1
3
·
−
2a
+
−
12b
+
3c
=
?
Wie multipliziert man zwei Terme wie 3ab und 5bc²?
#877
Bei der Multiplikation von Termen der Art "Zahl mal Variablen(-Potenzen)" kann man die Koeffizienten (Zahlen vor den Variablen) multiplizieren und die Variablen(-Potenzen) jeweils zu einer Potenz zusammenfassen. Normalerweise sortiert man die Variablen in alphabetischer Reihenfolge.
Beispiel
Vereinfache soweit wie möglich:
a) 
2a
·
5ab
b) 
2a
2
·
1
4
 
−
ab
3
c) 
3x
2
 
y
2
·
xy
3
:
6
Was ist die Punkt-vor-Strich-Regel beim Addieren und Multiplizieren von Termen?
#1401
Werden Terme in einer Rechnung addiert und multipliziert, so beachte die Punkt-vor-Strich-Regel.
Beispiel
Vereinfache.
x
2
2
·
7y
+
2y
·
x
4
−
x
·
9x
+
xy
−
x
Wie löst man eine Klammer auf, wenn davor ein Plus- oder Minuszeichen steht?
#110
Regel für das Auflösen von Klammern:
  • Steht vor der Klammer ein Plus, so bleiben die Vorzeichen in der Klammer unverändert.
  • Steht vor der Klammer ein Minus, so drehen sich die Vorzeichen in der Klammer um.
Beispiel
Vereinfache:
1
−
s
:
4
·
5
−
−
3s
·
1
2
−
2
Wie bestimmt man die Anzahl der Summanden und die höchsten Potenzen der Variablen nach dem Ausmultiplizieren von Produkten mehrerer Summen von x-Potenzen?
#426
Die Anzahl der Summanden, die sich nach dem Ausmultiplizieren mehrerer Summen ergibt, lässt sich ebenso leicht bestimmen wie die höchsten Variablenpotenzen:
  • Anzahl der Summanden: Nimm von jeder Klammer die Anzahl der Summanden und bilde das Produkt.
  • Höchste Potenz einer Variable: Nimm aus jeder Klammer die höchste Potenz dieser Variable und multipliziere diese Potenzen.
Beispiel
Wie viele Summanden ergeben sich nach dem Ausmultiplizieren und welche höchsten Variablenpotenzen?
x
+
2
−
y
2
·
2y
5
−
x
−
5x
2
+
1
3
·
x
+
1
·
y
3
Was bedeutet Ausklammern und wie funktioniert es?
#122
Enthält jeder einzelne Summand einer Summe denselben Faktor, so kann man diesen ausklammern, also als Faktor vor die Summenklammer schreiben (Distributivgesetz "rückwärts"):

a · b + a · c = a · (b + c)

(Ebenso mit − statt +)

Wie kann man komplexe Terme vereinfachen?
#421
Bei komplexeren Termen hilft meist die folgende Strategie weiter:
  1. Klammern auflösen/ausmultiplizieren
  2. gleichartige Terme durch Addieren/Subtrahieren zusammenfassen
Beispiel
Vereinfache:
3
−
2
9
 
v
−
2
3
−
1
3
·
6
−
v
·
2
Wie löst man zwei eingeklammerte Terme auf, die jeweils nur Plusrechnungen enthalten und miteinander multipliziert werden?
#123
Beim Multiplizieren zweier Summen muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden (ergibt sich aus dem Distributivgesetz):

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

Beispiel 1
Multipliziere aus und vereinfache:
2
5
 
uv
−
2
3
·
15u
2
+
1
−
uv
Beispiel 2
Vereinfache.
7x
−
3x
−
y
·
9y
+
x
−
1
Beispiel 3
b
−
2
3
 
b
·
6a
·
a
−
30%
+
1
2
 
a
2
·
b
−
4ab
−
ab
2
Wie löst man Klammern der Art a*(...) korrekt auf?
#1402
Achte beim Auflösen von Klammern der Art a⋅(...) oder (...)⋅(...) darauf, ob in der Klammer eine Summe oder ein Produkt steht. Nur bei einer Summe wird jeder Summand in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert (D-Gesetz).
Beispiel
Unterscheide:
−
2x
·
3x
+
5y
−
2x
·
3x
·
5y
Was ist der Unterschied zwischen dem Assoziativgesetz und dem Distributivgesetz?
#425
Unterscheide zwischen
  • a · (b · c) = a · b · c   (A-Gesetz)
  • a · (b + c) = a · b + a · c   (D-Gesetz)
Beispiel
Vereinfache:
12,5%
·
s
:
5
−
4
+
1,8s
·
1
1
2
 
s
+
t
2
−
3t
·
s
:
6
·
2t