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Koordinatengeometrie im Raum - Punkte und Vektoren - Aufgaben
Dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem, Darstellen von Punkten und einfachen Körpern, Vektoren, Linearkombination und Länge von Vektoren - Lehrplan G8 (12. Klasse)
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Beispielaufgabe
Eine Summe von mehreren Vektoren bzw. von deren Vielfachen nennt man Linearkombination. Dabei werden die Pfeile nach dem Prinzip "Fuß an Spitze" aneinander gekettet. Bei "−" wird der Gegenvektor (Spitze und Fuß vertauscht) addiert.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Gib die passende Linearkombination an, d.h. setze jeweils 0, ±0,5 oder ±1 passend ein.
Sei M der Mittelpunkt der Seite [DC]
FM
=
AB
+
AD
+
AE
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
!
Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Stoff zum Thema (+Video)
Lernvideo
Grundlagen VEKTOREN – Einstieg Vektorgeometrie einfach erklärt
Kanal: MathemaTrick
Ein Punkt
P(p
1
| p
2
| p
3
)
im dreidimensionalen Koordinatensystem liegt
auf der x
1
-Achse, wenn p
2
= p
3
= 0
auf der x
2
-Achse, wenn p
1
= p
3
= 0
auf der x
3
-Achse, wenn p
1
= p
2
= 0
in der x
1
x
2
-Ebene, wenn p
3
= 0
in der x
1
x
3
-Ebene, wenn p
2
= 0
in der x
2
x
3
-Ebene, wenn p
1
= 0
Punkte auf der x
1
-Achse liegen erst recht in der x
1
x
2
-Ebene und in der x
1
x
3
-Ebene. Für Punkte auf der x
2
-Achse und auf der x
3
-Achse gilt dies analog.
Spiegelung von P(p
1
| p
2
| p
3
) an der...
x
1
-Achse ⇒ P ´ (p
1
| −p
2
| −p
3
)
x
2
-Achse ⇒ P ´ (−p
1
| p
2
| −p
3
)
x
3
-Achse ⇒ P ´ (−p
1
| −p
2
| p
3
)
der x
1
x
2
-Ebene ⇒ P ´ (p
1
| p
2
| −p
3
)
der x
1
x
3
-Ebene ⇒ P ´ (p
1
| −p
2
| p
3
)
der x
2
x
3
-Ebene ⇒ P ´ (−p
1
| p
2
| p
3
)
Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also
b
1
− a
1
b
2
− a
2
b
3
− a
3
Beispiel
Bestimme die Verbindungsvektoren von A(7|1) nach B(2|4) und von P(1|2|3) nach Q(3|-1|4)
AB
=
?
?
;
PQ
=
?
?
?
Eine Summe von mehreren Vektoren bzw. von deren Vielfachen nennt man Linearkombination. Dabei werden die Pfeile nach dem Prinzip "Fuß an Spitze" aneinander gekettet. Bei "−" wird der Gegenvektor (Spitze und Fuß vertauscht) addiert.
Beispiel
Die orangen Pfeile veranschaulichen die Linearkombination
AM
+
MS
+
SD
,
der grüne Pfeil das Ergebnis, d.h.
AM
+
MS
+
SD
=
AD
Man kann auch andere Linearkombinationen angeben, die zu demselben Ergebnis führen, z.B.
1
2
AC
+
MS
−
DS
=
AD
−
DS
ist gleichbedeutend mit
+
−
DS
also der Addition des Gegenvektors.
Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel
Berechne die Länge von
a
=
5
−
3
und
b
=
1
4
7
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