- y = x²:
Normalparabel mit Scheitel S im Ursprung
- y = (x + 2)²:
Um 2 nach links (bei "x − 2" nach rechts) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(-2|0)
- y = x² + 2:
Um 2 nach oben (bei "x − 2" nach unten) verschobene Normalparabel, also Scheitel S(0|2)
- y = (x − 1)² + 3:
Um 1 nach rechts und um 3 nach oben verschobene Normalparabel, also Scheitel S(1|3)
Diese Zusammenhänge gelten auch, wenn ein Faktor vor x² bzw. (...)² steht.
Gib die Koordinaten des Scheitels an.
In einer Wertetabelle sind x- und y-Werte einander gegenübergestellt. Die Wertetabelle erhält man, indem man vorgegebene x-Werte in den Funktionsterm einsetzt und so die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Die (x|y)-Paare sind Punkte des Grafen.
Die durch y = ax² (a≠0) definierte Parabel hat den Scheitel im Ursprung und ist gegenüber der Normalparabel in y-Richtung um das |a|-fache gestreckt (|a|>1) oder gestaucht (|a|<1). Das Vorzeichen von a legt fest, ob die Parabel nach oben (a positiv) oder nach unten (a negativ) geöffnet ist.
Neben der Normalparabel (grau) sind drei verschiedene Parabeln mit der Gleichung y = ax² dargestellt. Lies jeweils das Vorzeichen von a ab und gib an, ob |a|>1 oder |a|<1.
Durch die Gleichung
y = a⋅(x - xS)² + yS (a≠0) ist eine Parabel mit den Scheitelkoordinaten
xS und
yS gegeben, die gegenüber der Normalparabel mit der Gleichung
y = x²
- nach unten geöffnet ist, falls a negativ ist und
- evtl. gestreckt (falls |a|>1) bzw. gestaucht (falls |a|<1) ist.
Abgebildet ist die Parabel mit der Gleichung
Die Gleichung einer Parabel sei bis auf den Formfaktor a bekannt. Dann lässt sich a bestimmen, indem man einen Punkt des Graphen aus dem Koordinatensystem abliest, ihn in die Parabelgleichung einsetzt und die Gleichung nach a auflöst.
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
- über dem Graphen, wenn b > f(a)
- auf dem Graphen, wenn b = f(a)
- unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Parabel liegt.
Um eine in Scheitelform gegebene Parabel mit der Gleichung y=a·(x−xS)²+yS ohne Wertetabelle zu zeichnen, geht man am besten vom Scheitel S aus nacheinander um 1, 2, 3 usw. Einheiten nach rechts und dabei um a·1², a·2², a·3² usw. Einheiten nach oben (a>0) oder unten (a<0). Somit erhält man den rechten Parabelast. Der linke ergibt sich durch Spiegelung.
Zeichne die Parabel mit der Gleichung in ein Koordinatensystem. Benutze dabei weder den Taschenrechner noch eine schriftliche Wertetabelle.
Weiß man, dass eine Parabel die x-Achse an den Stellen x
1 und x
2 schneidet, so kann man ihren Scheitel S leicht bestimmen:
- xS = (x1 + x2) : 2
Begründung: xS (also die x-Koordinate des Scheitels) liegt aus Symmetriegründen genau in der Mitte des Intervalls [x1 ; x2]
- yS = p(xS)
d.h. die y-Koordinate erhält man durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm der Parabel
Die Parabel mit der Gleichung schneidet die x-Achse an den Stellen und . Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunkts.
Man unterscheidet bei einer Parabel zwischen
- Allgemeiner Form y = ax² + bx + c ⇒ Ablesen des Schnittpunkts mit der y-Achse (0;c)
- Scheitelpunktform y = a (x - xS)² + yS ⇒ Ablesen des Scheitels S
Von der allgemeinen Form ausgehend erhält man die Scheitelpunktform mithilfe der quadratischen Ergänzung.
Bringe in Scheitelpunktform und gib den Scheitel an.
Von der Scheitelpunktform
y = a⋅(x − xS)2 + yS
kommt man durch ausquadrieren bzw. dem Anwenden der binomischen Formeln zur allgemeinen Form:
y = a⋅x² + bx + c
Bringe in die allgemeine Form und gib dann die Parameter a, b und c an:
Die Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel kann von jeder Form aus in jede andere Form umgewandelt werden:
- Allgemeine Form ⇒ Scheitepunktform: mittels quadratischer Ergänzung
- Allgemeine Form ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, z.B. mit Hilfe der Miternachts- oder der p-q-Formel
- Scheitelpunktform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren (binomische Formel) und vereinfachen
- Scheitelpunktform ⇒ Nullstellenform: mittels Nullstellenbestimmung, wobei hier keine Lösungsformel notwendig ist
- Nullstellenform ⇒ allgemeine Form: Ausmultiplizieren und vereinfachen
- Nullstellenform ⇒ Scheitelpunktform: xS ergibt sich als Mittelwert der Nullstellen, yS durch Einsetzen von xS in den Funktionsterm
Allgemeine Form - Scheitelpunktform - Nullstellenform: Wandle jeweils von der gegebenen in die beiden anderen Formen um.
Eine quadratische Funktion hat die allgemeine Funktionsgleichung y=ax²+bx+c.
Gibt man zwei Punkte auf dem Graphen (Schaubild) der Funktion und einen der Parameterwerte a, b oder c vor, lässt sich die Funktionsgleichung bestimmen.
Durch das Einsetzen der zwei Punkte und des Parameterwerts in die Funktionsgleichung y = ax² + bx + c erhält man ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Dieses kann mittels Einsetz- oder Subtraktionsverfahren gelöst werden.
Bestimme die Gleichung der Parabel p, die durch die Punkte A und B verläuft.
Bei der Gleichung einer quadratischen Funktion bzw. Parabel unterscheidet man folgende Formen:
-
Allgemeine Form:
y=ax²+bx+c
Hieraus lässt sich der Schnittpunkt mit der y-Achse (0|c) ablesen.
-
Scheitelpunktform:
y=a·(x−xS)²+yS
Hieraus lässt sich der Scheitelpunkt S(xS|yS) ablesen.
-
Nullstellenform (Produktform/faktorisierte Form):
y=a·(x−x1)·(x−x2)
Hieraus lassen sich die Nullstellen x1 und x2 ablesen.
Bei Extremwertaufgaben geht man am besten in folgenden Schritten vor:
- Darstellung der zu optimierenden Größe als Term
- Term in Abhängigkeit von einer Variable (z.B. "x") darstellen
- Term in Nullstellen- oder Scheitelpunktform umwandeln
- Extremwert und zugehöriges "x" bestimmen
Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Basislänge 4 und der Höhe 3,5 ist ein Rechteck einbeschrieben. Bestimme Länge und Breite des Rechtecks mit dem maximalen Flächeninhalt.
Bestimmte Bewegungsvorgänge (z.B. Ballwurf) und bestimmte Formen (z.B. ein an zwei Stellen befestigtes Seil) können näherungsweise als Teile von Parabeln aufgefasst werden und daher durch quadratische Funktionen modelliert werden.
Sind von der Parabel ...
- ... drei beliebige Punkte bekannt, sollte man ein Gleichungssystem aufstellen, um die Parameter a, b und c der allgemeinen Form zu bestimmen.
- ... der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Scheitelform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.
- ... die beiden Nullstellen und ein weiterer Punkt bekannt, sollte man von der Nullstellenform ausgehen und den fehlenden Parameter a durch Einsetzen des weiteren Punkts ermitteln.