Stochastik - Zufallsgröße, Erwartungswert und Varianz - Aufgaben

Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen bestimmen; Textaufgaben - Lehrplan G8 (12. Klasse)

Hilfe

  • Mittelwert und Standardabweichung einer Datenreihe x1, x2, ..., xn:

    Mittelwert (Arithmetisches Mittel) x:

    • Addiere alle Daten und dividiere durch die Anzahl der Daten.
    • x=1/n · (x1 + x2 + ... + xn)

    Empirische Standardabweichung s:

    Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie sehr die Werte der Datenreihe um den Mittelwert schwanken.

    Berechnung der Standardabweichung:

    • Bestimme den Mittelwert x.
    • Subtrahiere den Mittelwert von jedem Wert xi der Datenreihe.
    • Quadriere jeweils die Ergebnisse.
    • Addiere alle quadrierten Werte.
    • Dividiere dann durch die Anzahl n der Daten.
    • Ziehe vom Ergebnis die Quadratwurzel.
    • Als Formel: s = √{ 1/n·[ (x1 − x)2+ (x2 − x)2 + ... + (xn − x)2 ] }

TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Die Aufgaben aus diesem Level gehen über den Lehrplan hinaus oder sind Zusatzaufgaben.

Berechne Mittelwert und Standardabweichung der Datenreihe. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • Ergebnis nach 10 Mal würfeln: 4     2     4     1     6     5     5     3     4     1
    Mittelwert
     
    x
    =
     
    Standardabweichung s ≈
     
    Notizfeld
    Notizfeld
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keine Berechtigung
Den Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X erhält man, indem man jeden Wert von X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multipliziert und daraus die Summe bildet.
Beispiel
Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Bei einem 6er-Pasch erhält der Spieler 20€, bei jedem anderen Pasch 5€, ansonsten muss er 2€ zahlen. Lohnt sich dieses Spiel für ihn auf Dauer?
Die Varianz Var(X) einer Zufallsgröße X gibt grob gesagt an, wie stark die Werte einer Zufallsgröße vom Erwartungswert abweichen. Um sie zu berechnen, muss man zunächst den Erwartungswert μ bestimmen. Für jeden Wert k, den X annehmen kann, ist dann folgende Rechnung durchzuführen:
  • den Erwartungswert μ abziehen
  • Ergebnis quadrieren
  • Ergebnis mit zugehöriger Wahrscheinlichkeit multiplizieren
Die Summe dieser Produkte (für alle k) ergibt die Varianz, also

Var(x) = Σ (k − μ)2· P(X = k)

Mittelwert und Standardabweichung einer Datenreihe x1, x2, ..., xn:

Mittelwert (Arithmetisches Mittel) x:

  • Addiere alle Daten und dividiere durch die Anzahl der Daten.
  • x=1/n · (x1 + x2 + ... + xn)

Empirische Standardabweichung s:

Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie sehr die Werte der Datenreihe um den Mittelwert schwanken.

Berechnung der Standardabweichung:

  • Bestimme den Mittelwert x.
  • Subtrahiere den Mittelwert von jedem Wert xi der Datenreihe.
  • Quadriere jeweils die Ergebnisse.
  • Addiere alle quadrierten Werte.
  • Dividiere dann durch die Anzahl n der Daten.
  • Ziehe vom Ergebnis die Quadratwurzel.
  • Als Formel: s = √{ 1/n·[ (x1 − x)2+ (x2 − x)2 + ... + (xn − x)2 ] }

Beispiel
Am Schuljahresende blickt Anton auf seine Ergebnisse der 6 Mathearbeiten zurück: 2     2     4     2     1     3
Berechne Mittelwert und Standardabweichung