4.8 Vermischte Übungen - Aufgaben

Gleichungen - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)

Hilfe
  • Eine lineare Gleichung bzw. Ungleichung erkennt man daran, dass die auftretenden Summanden entweder Konstanten oder Vielfache von x sind, z.B.
    • 3x − 5 = 7x + 2 − 13x
    Linear sind aber auch Gleichungen bzw. Ungleichungen, bei denen sich die auftretenden Terme so umformen lassen, dass die obere Bedingung erfüllt ist, z.B.
    • 3 (x − 5) + 2x = (7x − 2) · 13
    • x² − 2x +1 = x² + 3
      [durch Subtraktion von x² auf beiden Seiten verschwindet x²]
    Nicht linear sind Gleichungen bzw. Ungleichungen, bei denen (evtl. nach Umformung) x² oder höhere Potenzen von x auftreten, z.B.
    • 3x² − 5 = 7x + 2 − 13x
    • 3x (x − 5) + 2x = (7x − 2) · 13
      [links entsteht beim Ausmultiplizieren 3x²]

Ergänze die Gleichung so, dass sie (als lineare Gleichung) lösbar ist.

  • 7x
    2
    −
    14x
    +
    1
    −
    13x
    =
    34
    +
    6x
    −
    ?
    6x
     
         
     
    7x
    2
     
         
     
    −
    6x
     
         
     
    −
    7x
    2
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Eine lineare Gleichung bzw. Ungleichung erkennt man daran, dass die auftretenden Summanden entweder Konstanten oder Vielfache von x sind, z.B.
  • 3x − 5 = 7x + 2 − 13x
Linear sind aber auch Gleichungen bzw. Ungleichungen, bei denen sich die auftretenden Terme so umformen lassen, dass die obere Bedingung erfüllt ist, z.B.
  • 3 (x − 5) + 2x = (7x − 2) · 13
  • x² − 2x +1 = x² + 3
    [durch Subtraktion von x² auf beiden Seiten verschwindet x²]
Nicht linear sind Gleichungen bzw. Ungleichungen, bei denen (evtl. nach Umformung) x² oder höhere Potenzen von x auftreten, z.B.
  • 3x² − 5 = 7x + 2 − 13x
  • 3x (x − 5) + 2x = (7x − 2) · 13
    [links entsteht beim Ausmultiplizieren 3x²]
Gehe bei umfangreicheren linearen Gleichungen nach folgendem Schema vor
  1. rechte und linke Seite so weit wie möglich vereinfachen
  2. durch Addition und Subtraktion die Gleichung in die Form ax = b bringen, d.h. zunächst alle x-Vielfachen auf die eine Seite, die andere Seite x-frei
  3. zuletzt durch a teilen
Beispiel
Löse die Gleichung
2
3
−
1
6
 
x
:
4
=
1
3
·
2
+
x
−
5
+
1
4
 
x
Beispiel
Gegeben ist eine zweistellige Zahl, deren Zehnerziffer um zwei kleiner als die Einerziffer ist. Vertauscht man beide Ziffern, so erhält man eine zweite Zahl. Multipliziert man die erste Zahl mit acht und subtrahiert davon sechs, so erhält man das Sechsfache der zweiten Zahl. Wie heißt die ursprüngliche Zahl? Löse mit Hilfe einer Gleichung!