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  • Leitet man f ab, so erhält man f ´ (erste Ableitung von f).

    Leitet man f ´ ab, so erhält man f ´´ (zweite Ableitung von f).

    Um f ´´ bilden zu können, muss f zweimal differenzierbar sein.

Bestimme die zweite Ableitung. x-Potenzen sind in der Form x^n einzugeben, Brüche in der Form a/b.

  • f
     
    x
    =
    3x
    4
    2x
    3
    +
    x
    2
    3
    x
    +
    5
    f ´´
     
    x
    =
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Zweite Ableitung und Krümmung
Lernvideo

Zweite Ableitung und Krümmung

Kanal: Mathegym

Leitet man f ab, so erhält man f ´ (erste Ableitung von f).

Leitet man f ´ ab, so erhält man f ´´ (zweite Ableitung von f).

Um f ´´ bilden zu können, muss f zweimal differenzierbar sein.
f bzw Gf f ´ f ´´
streng monoton zunehmend positiv
streng monoton abnehmend negativ
linksgekrümmt streng monoton zunehmend positiv
rechtsgekrümmt streng monoton abnehmend negativ
Beispiel
Lies das jeweilige Vorzeichen von f(-1), f '(-1) und f ''(-1) ab. Gib jeweils ein möglichst großes Intervall an (geschätzt), in dem f, f ' bzw. f '' positiv ist.
graphik
Die Krümmungsintervalle einer zweimal differenzierbaren Funktion ermittelt man mit Hilfe einer Vorzeichenuntersuchung von f ´´. Bestimme dazu zunächst die Nullstellen von f ´´.
Beispiel
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion 
f
 
x
=
x
4
2x
3
9
2
 
x
2
+
2x.

Eine Funktionenschar ist gegeben durch eine Funktionsgleichung mit (mindestens) einem Parameter. Jeder Parameterwert liefert eine spezielle Funktion. Insofern ist durch die Gleichung der Funktionenschar eine Menge an Kurven gegeben.

Mit der Funktionsgleichung der Schar kann man rechnen wie mit einer Funktionsgleichung ohne Parameter (Punkt-Koordinaten einsetzen, ableiten, ...). Der Parameter wird dabei behandelt wie eine Zahl.

Beispiel
Bestimme alle Extremstellen der Funktionenschar f
a
x
=
x
3
ax
2
+
a
2
 
in Abhängigkeit vom Scharparameter a (a>0)