Geometrie - Thaleskreis/Peripheriewinkelsatz - Aufgaben

- Lehrplan für 8.-9. Jgst

Hilfe
  • Satz des Thales:
    • Liegen A, B und C auf einem Kreis und geht [AB] durch den Mittelpunkt, so ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig. Man spricht vom "Thaleskreis" über [AB].
    • Umgekehrt gilt: ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig, so liegt C auf dem Thaleskreis über [AB].
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Handelt es sich um einen rechten Winkel? Entscheide nach LOGISCHEN Gesichtspunkten (nicht nach Augenmaß). Beachte dabei: Kreismittelpunkte sind orange markiert.

  • graphik
    ∠FCA:   
     
    Ja   
     
    Nein   
     
    Vielleicht   
    ∠AFD:   
     
    Ja   
     
    Nein   
     
    Vielleicht   
    ∠BFE:   
     
    Ja   
     
    Nein   
     
    Vielleicht   
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Satz des Thales:
  • Liegen A, B und C auf einem Kreis und geht [AB] durch den Mittelpunkt, so ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig. Man spricht vom "Thaleskreis" über [AB].
  • Umgekehrt gilt: ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig, so liegt C auf dem Thaleskreis über [AB].
Beispiel 1
Welche der folgenden Dreiecke sind rechtwinklig?
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Beispiel 2
Ermittle durch Konstruktion alle Punkte, von denen aus die beiden Strecken a und b unter einem rechten Winkel erscheinen.
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Ein Kreis wird durch eine Sehne a in zwei Bögen unterteilt. Man betrachte den größeren der beiden Bögen (falls gleichgroß: einen der beiden Halbkreise):
  • Von jedem Punkt des sogenannten Fasskreisbogens erscheint die Sehne unter demselben Winkel γ (Randwinkel oder Umfangswinkel).
  • Vom Kreismittelpunkt aus erscheint die Sehne dagegen unter dem Winkel µ = 2γ, d.h. der Mittelpunktswinkel ist immer doppelt so groß wie der Umfangswinkel.
  • Durch Spiegelung an a erhält man den zweiten Fasskreisbogen (zweites Bild). Das Fasskreisbogenpaar (die Sehnenendpunkte gehören nicht dazu) ist also der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus a unter demselben Winkel erscheint.
  • Im Spezialfall a = Durchmesser (s.o.) ergänzen sich die Fasskreisbögen (Halbkreise) zum Thaleskreis, der Randwinkel beträgt also hier stets 90°.