5.2 Vektoren - Aufgaben

Schlüsselkonzept: Vektoren - Geraden im Raum - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-13. Klasse)

Hilfe
  • Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also

    b1 − a1
    b2 − a2
    b3 − a3

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Bestimme die Koordinaten des Vektors.

  • A(2 | -1,5 | 3)
    ;
    B(-3 | -1 | 4)
    ;
    AB
    =
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Die Koordinaten des Vektors mit Fuß in A und Spitze in B erhält man durch die Rechnung "Spitze − Fuß", also

b1 − a1
b2 − a2
b3 − a3

Beispiel
Bestimme die Verbindungsvektoren von A(7|1) nach B(2|4) und von P(1|2|3) nach Q(3|-1|4)
AB
=
?
?
;
PQ
=
?
?
?
Eine Summe von mehreren Vektoren bzw. von deren Vielfachen nennt man Linearkombination. Dabei werden die Pfeile nach dem Prinzip "Fuß an Spitze" aneinander gekettet. Bei "−" wird der Gegenvektor (Spitze und Fuß vertauscht) addiert.
Beispiel
graphik
Die orangen Pfeile veranschaulichen die Linearkombination
 
AM
+
MS
+
SD
 
,
der grüne Pfeil das Ergebnis, d.h.
 
AM
+
MS
+
SD
=
AD
   
Man kann auch andere Linearkombinationen angeben, die zu demselben Ergebnis führen, z.B.
1
2
 
AC
+
MS
−
DS
=
AD
−
DS
 
ist gleichbedeutend mit
 
+
−
DS
 
also der Addition des Gegenvektors.
Die Länge eines Vektors erhält man, indem man seine Koordinaten quadriert, summiert und dann die Wurzel zieht. Die Vorzeichen der Koordinaten spielen dabei keine Rolle.
Beispiel
Berechne die Länge von
 
a
=
5
−
3
 
und
 
b
=
1
4
7

Die Entfernung zweier Punkte A und B erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck mit [AB] als Hypotenuse und den Kathetenlängen xB − xA und yB − yA (gemeint sind die x- und y-Koordinaten von A und B) betrachtet. Nach dem Satz des Pythagoras muss man die Quadrate beider Differenzen summieren und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen, um die Entfernung zwischen A und B zu erhalten.