Terme - Potenzgesetze - Mathematikaufgaben

- gemäß Lehrplan für 8.-9. Jgst

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Ist der Exponent negativ, so bildet man den Kehrwert der Basis und macht den Exponenten positiv.

Schreibe als Bruch und berechne.

  • 2
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Ist der Exponent negativ, so bildet man den Kehrwert der Basis und macht den Exponenten positiv.
Beispiel
5
−
2
=
5
1
−
2
=
1
5
2
=
1
25
a− n = 1 / an
In der Praxis werden sehr große oder sehr kleine Werte oft in der Form a · 10n geschrieben, wobei 1 ≤ a < 10, z.B.

5 723 000 = 5,723 · 106

"verschiebe bei 5,723 das Komma um 6 Stellen nach rechts" 0,00095 = 9,5 · 10-4 "verschiebe bei 9,5 das Komma um 4 Stellen nach links"

Man spricht hier auch von wissenschaftlicher Notation.
Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt

b−r = 1 / br

Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

b1/n = n√b

Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt

bm/n = n√(bm) = (n√b)m

Beispiel 1
27
2
3
=
?
 
          
 
0,75
−
2
=
?
Beispiel 2
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
3
25
9
 
          
 
1
8
Beispiel 3
Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht im Nenner oder unter der Wurzel steht:
2
3x
2
 
          
 
3
64
27a
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Beispiel
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
x
2
 
und
 
x
2
 
          
 
x
2
3
 
und
 
x
3
Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung

T(x)r = a

lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:

T(x) = a1/r

Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r
  • eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
  • eine echt rationale Zahl ist: x1/3 = -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Beispiel
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
1
3
 
x
+
1
−
3
4
=
8
 
          
 
3
x
2
−
2
=
−
1
2
Potenzgesetze:
  1. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
  2. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
  3. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
  4. Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
  5. Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
Beispiel
Beispiel zu Potenzgesetz 1:
 
    
 
3
2
·
3
5
=
3
2
+
5
=
3
7
=
3
·
3
·
3
·
3
·
3
·
3
·
3
7mal
=
2187
Beispiel zu Potenzgesetz 2:
 
    
 
5
6
:
5
5
=
5
6
−
5
=
5
1
=
5
Beispiel zu Potenzgesetz 3:
 
    
 
5
2
·
7
2
=
5
·
7
2
=
35
2
=
1225
Beispiel zu Potenzgesetz 4:
 
    
 
15
2
:
5
2
=
15
:
5
2
=
3
2
=
9
Beispiel zu Potenzgesetz 5:
 
    
 
2
3
4
=
2
3
·
4
=
2
12
=
4096
Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis:

ap · aq = ap + q

ap : aq = ap − q

Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponent:

aq · bq = (a · b)q

aq : bq = (a : b)q

Potenz einer Potenz:

(ap)q = ap·q

Beispiel 1
Fasse zusammen:
35c
7
6d
2
:
7
 
c
2
d
5
Beispiel 2
Fasse jeweils zusammen:
(a)
 
6
7
:
6
3
(b)
 
2
5
:
6
5