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Trigonometrie - allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion - Aufgaben
Sinusfunktion mit Parametern: Abwandlungen der normalen Sinus- und Kosinuskurve (bzgl. Amplitude, Periode, Verschiebung in x- und y-Richtung) - Lehrplan für 11.-12. Klasse
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Durch bestimmte Vorfaktoren lassen sich Amplitude und Periode der normalen Sinuskurve verändern.
Amplitude
beschreibt die Ausprägung in y-Richtung, normalerweise beträgt sie 1. Unter
Periode
versteht man die Länge des Intervalls, indem sich der Graph nicht wiederholt, normalerweise beträgt diese 2π. Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
y = a·sin(x) in y-Richtung gestreckt (|a| > 1) bzw. gestaucht (|a| < 1). Ist a negativ, erscheint der Graph zudem an der x-Achse gespiegelt.
y = sin(b·x), b>0, in x-Richtung gestreckt (0 < b < 1) bzw. gestaucht (b > 1). Ihre Periode ergibt sich aus 2π / b.
Welche Gleichung passt zum abgebildeten Graph?
y
=
sin
3
·
x
y
=
sin
1,5
·
x
y
=
3
+
sin
x
y
=
1,5
+
sin
x
y
=
3
·
sin
x
y
=
3
2
·
sin
x
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Allgemeine Sinusfunktion
Kanal: Mathegym
Durch bestimmte Vorfaktoren lassen sich Amplitude und Periode der normalen Sinuskurve verändern.
Amplitude
beschreibt die Ausprägung in y-Richtung, normalerweise beträgt sie 1. Unter
Periode
versteht man die Länge des Intervalls, indem sich der Graph nicht wiederholt, normalerweise beträgt diese 2π. Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
y = a·sin(x) in y-Richtung gestreckt (|a| > 1) bzw. gestaucht (|a| < 1). Ist a negativ, erscheint der Graph zudem an der x-Achse gespiegelt.
y = sin(b·x), b>0, in x-Richtung gestreckt (0 < b < 1) bzw. gestaucht (b > 1). Ihre Periode ergibt sich aus 2π / b.
Beispiel
Der unten abgebildete Graph gehört zu einer Gleichung der Form
y
=
a
·
sin
b
·
x
, wobei a>0 und b>0
Bestimme a und b.
Die Funktion f(x) = sin(b·x); b>0 bzw. deren Graph
ist gegenüber der normalen Sinuskurve in x-Richtung gestreckt (b<1) bzw. gestaucht (b>1).
besitzt die Periode 2π / b
und damit folgende Nullstellen: außer 0 die halbe Periode und alle (positiven wie negativen) Vielfachen davon.
Für den Kosinus gelten bzgl. Streckung/Stauchung und Periode dieselben Gesetzmäßigkeiten; das Rezept für die Nullstellen lautet hier: Nimm eine viertel Periode und addiere dazu (bzw. ziehe ab) eine halbe Periode (bzw. Vielfache davon).
Beispiel
Zeichne die Graphen zu folgenden Funktionen:
a)
sin
2
3
·
x
b)
cos
3
2
·
x
Gegenüber der normalen Sinuskurve (Kosinus analog) ist der Graph der Funktion
y = sin(x + c) in x-Richtung nach rechts (c < 0) bzw. links (c > 0) verschoben.
y = sin(x) + d in y-Richtung nach oben (d > 0) bzw. unten (d < 0) verschoben.
Beispiel
Gib die zum Graph passende Funktionsgleichung an:
y
=
sin
x
−
?
−
?
Der Graph der Funktion y = a·sin(x+c)+d entsteht aus der normalen Sinuskurve durch:
Streckung (|a|>1) bzw. Stauchung (|a|<1) in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist
Verschiebung um |c| Einheiten nach links (c>0) bzw. nach rechts (c<0)
Verschiebung um |d| Einheiten nach unten (d<0) bzw. nach oben (d>0)
Für den Kosinus gelten die selben Gesetzmäßigkeiten.
Beispiel
Zeichne die Graphen zu folgenden Funktionen:
a)
0,5
·
sin
x
b)
sin
x
−
π
3
c)
cos
x
−
1
d)
−
1,5
·
cos
x
+
π
2
Der Graph der Funktion
y = a·sin[b·(x + c)] ; b>0
entsteht aus der normalen Sinuskurve durch folgende Schritte:
Streckung/Stauchung in x-Richtung; die Periode ergibt sich durch 2π/b, vergößert sich also für b<1 und verkleinert sich für b>1
Verschiebung in x-Richtung um |c|; bei negativem Wert nach rechts, ansonsten nach links;
Streckung in y-Richtung mit dem Faktor |a|; zusätzlich Spiegelung an der x-Achse, wenn a negativ ist;
Für den Kosinus gelten die selben Gesetzmäßigkeiten.
Beispiel 1
f
x
=
cos
b
·
x
+
c
Bestimme passende Parameterwerte b und c
b
>
0 und
−
π
<
c
<
π
, so dass der Funktionsterm zum abgebildeten Graphen passt.
Beispiel 2
Welche der angegebenen Funktionsterme passen zum abgebildeten Graphen?
a
−
1,75
·
sin
0,6
·
x
−
π
6
b
1,75
·
sin
0,6
·
x
+
1,5π
c
1,5
·
sin
0,6
·
x
+
1,5π
d
1,75
·
sin
5
3
·
x
+
1,5π
e
1,75
·
sin
0,6
·
x
+
1,5π
+
1
f
1,75
·
sin
0,75
·
x
+
1,5π
Die Funktion
f(x) = a·sin(b·x); b>0
bzw. deren Graph besitzt:
die Amplitude |a|,
die Periode 2π / b
und damit folgende Nullstellen: außer 0 die halbe Periode und alle (positiven wie negativen) Vielfachen davon.
Für den Kosinus gelten bzgl. Amplitude und Periode dieselben Gesetzmäßigkeiten; das Rezept für die Nullstellen lautet hier: Nimm eine viertel Periode und addiere dazu (bzw. ziehe ab) eine halbe Periode (bzw. Vielfache davon).
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