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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Ausklammern.
  • Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also

    f(x) = p(x) · q(x)   [evtl. noch mehr Faktoren],

    so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.

Gib alle Nullstellen aufsteigend sortiert an. Falls es weniger Nullstellen als Felder gibt, fülle die restlichen mit "!" aus. Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" einzugeben.

f(x)
=
x
1
·
1
2
 
x
3
2x
;
;
;
  • Nebenrechnung

Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also

f(x) = p(x) · q(x)   [evtl. noch mehr Faktoren],

so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
Beispiel
f
 
x
=
x
4
3x
3
2x
2
·
x
+
1
3
 
. Ermittle alle Nullstellen.
Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).
Beispiel
Löse die Gleichung
 
x
4
6x
2
+
8
=
0
Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z.B. x + 2) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (pq-Formel!) ab:
  • Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in q · (x − a) · (x − b).

  • Eine Lösung a: der Term zerfällt in q · (x − a)².

  • Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar.
Beispiel
Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
a
 
   
 
2x
2
+
3x
+
2
b
 
   
 
3x
2
+
x
5
Polynomdivision funktioniert ähnlich wie die schriftliche Division, die du bereits aus der Grundschule kennst. Beispiel:

(½ x³ − 4) : (x − 2)
  1. Teile die höchste Potenz des Dividenden durch die höchste Potenz des Divisors:

    ½ x³ : x = ½ x²

  2. Multipliziere dieses Teilergebnis mit dem Divisor und ziehe das Ergebnis vom Dividenden ab:

    ½ x² · (x − 2) = ½ x³ − x²

    ½ x³ − 4 − (½ x³ − x²) = x² − 4

  3. Fahre mit dem Ergebnis der Subtraktion fort wie im ersten Schritt:

    x² : x = x usw.
Polynome (d.h. ganzrationale Terme) vom Grad 3 oder höher lassen sich evtl. faktorisieren (also in ein Produkt aus mehreren Faktoren zerlegen), indem man
  • eine Nullstelle a errät und dann mittels Polynomdivision durch (x − a) teilt.
  • x oder eine höhere Potenz von x (z.B. x³) ausklammert. Das ist aber nur sinnvoll, wenn das Polynom keine additive Konstante aufweist, wie z.B. bei x³ - 4x² + 3x.
  • eine binomische Formel anwendet.
Ein quadratischer Faktor kann mit Hilfe der pq-Formel evtl. weiter zerlegt werden. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen und zerfällt damit in höchstens n lineare Faktoren.