01.5.4 Bruchterme kürzen und erweitern (Grundlagen aus Realschule) - Mathematikaufgaben

Kürzen von Bruchtermen mit evtl. vorangehendem Faktorisieren, erweitern mit gegebenem oder erschließbarem Erweiterungsterm - gemäß Lehrplan

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Ein Bruchterm lässt sich kürzen, wenn Zähler und Nenner (als Produkt dargestellt) in einem Faktor übereinstimmen. Das setzt, wie schon gesagt, Produkte auf beiden Seiten des Bruchstrichs voraus. Aus Summen oder Differenzen heraus darf nicht gekürzt werden!

Kürze, wenn möglich:

  • 1
    +
    a
    a
    +
    2
    =
     
    2
    3
         
     
    1
    2
         
     
    1
    2
    +
    a
         
    weder noch
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
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Lernvideo
Bruchterme erweitern und kürzen
Entscheidend für die Art des Terms ist der letzte Rechenschritt. Dabei ist zu beachten: Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich. Fehlt zwischen den Teiltermen das Rechenzeichen, so ist "Mal" gemeint, z.B. 7 (2 + x) = 7·(2 + x)
Beispiel
Um was für einen Term handelt es sich jeweils im Zähler und im Nenner?
2
+
3
·
x
2
 
x
−
1
Ein Bruchterm lässt sich kürzen, wenn Zähler und Nenner (als Produkt dargestellt) in einem Faktor übereinstimmen. Das setzt, wie schon gesagt, Produkte auf beiden Seiten des Bruchstrichs voraus. Aus Summen oder Differenzen heraus darf nicht gekürzt werden!
Beispiel
Mit welchen Faktoren kann gekürzt werden?
6x
2
−
1
2x
2
 
   ;   
 
6x
·
x
−
1
2x
2
 
   ;   
 
6
 
x
−
1
2
2
 
1
−
x
"Kürzen" bedeutet, dass man Zähler- und Nennerterm durch dieselbe Zahl oder durch dieselbe Variable oder durch denselben Teilterm dividiert.
Differenzen und Summen können evtl. durch Ausklammern geeigneter Zahlen, Variablen oder Teilterme in Produkte übergeführt werden. Hat man Glück, lässt sich dadurch ein Bruchterm (weiter) kürzen.
"Erweitern" eines Bruchterms bedeutet, dass man Zähler- und Nennerterm mit derselben Zahl, derselben Variable oder demselben Term multipliziert.

Liegt z.B. der Nenner des erweiterten Bruchterms vor, so muss man diesen durch den ursprünglichen Nenner teilen, um den Erweiterungsfaktor zu bestimmen.

Beispiel
Ergänze den Zähler des erweiterten Bruchterms:
4x
·
y
+
1
3a
2
=
?
15a
3
 
b
2
·
x
·
y
+
1
2
Durch Erweitern bzw. Kürzen eines Bruchterms verkleinert bzw. vergrößert sich evtl. die Menge aller möglichen Einsetzungen. Darum sind der erweiterte/gekürzte Term und der ursprüngliche nicht von Haus aus äquivalent, sondern nur, wenn man sie auf die kleinere Definitionsmenge beider Terme bezieht.
Beispiel
Sind die beiden Terme   
6x
2
−
2x
3x
−
1
   und   2x   äquivalent und wenn ja für welche Einsetzungen?